无穷大

日期: 2022-12-27 14:39 查看: 86 次

我们仅就 $x \rightarrow x_0$ 的情形来定义无穷大.
设 $f(x)$ 在 $\stackrel{\circ}{U\left(x_0\right)}$ 内有定义，如果当 $x \rightarrow x_0$ 时，对应的函数的绝对值 $|f(x)|$ 无限增大， 就说 $f(x)$ 是当 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷大量.
精确地说， 有下述定义.
定义 2 如果
$\forall M>0 \quad \exists \delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)|>M$ ，
则称函数 $f(x)$ 为 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷大量，简称无穷大，记作 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$.

若将上述 “ $|f(x)|>M$ "改成 $f(x)>M$ 或 $(x)<-M$ ，则有 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=+\infty$ ，称 $f(x)$ 为当 $x \rightarrow x_0$ 时的正无穷大， $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-\infty$ ，称 $f(x)$ 为当 $x \rightarrow x_0$ 时的负无穷大.
注 这里 $\lim _{x \rightarrow \infty \infty} f(x)=\infty$ 只是借用了极限的符号，并不意味着函数 $f(x)$ 存在极限， 因为无穷大 $\infty$ 不是数，不可与绝对值很大的常数混淆，无穷大是绝对值无限 增大的变量.

例2 证明 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1}=\infty$.
证明 $\forall M>0$ ，要使 $\left|\frac{1}{x-1}\right|>M$ ，即 $|x-1|<\frac{1}{M}$ ，取 $\delta=\frac{1}{M}$ ，则当 $0<|x-1|<\delta$ 时，恒 有 $\left|\frac{1}{x-1}\right|>M$ ，因此 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1}=\infty$.
直线 $x=1$ 是函数 $y=f(x)$ 图形的铅直渐近线 (见图1-50).

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注 若 $\lim _{x \rightarrow i} f(x)=\infty$ 或 $\lim _{x \rightarrow 6} f(x)=\infty$ ，则直线 $x=x_0$ 称为函数 $y=f(x)$ 图形的铅直渐近线. 例 3 求曲线 $y=\frac{4 x-1}{(x-1)^2}$ 的渐近线方程.
解 因为 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{4 x-1}{(x-1)^2}=\infty$ ，所以 $x=1$ 是曲线的铅直渐近线；
因为 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x-1}{(x-1)^2}=0$ ， 所以 $y=0$ 是曲线的水平渐近线.
*注 若 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\(x \rightarrow \infty)}} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0$ 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\(x \rightarrow \infty)}}[f(x)-a x]=b$ ，则直线 $y=a x+b$ 是函数 $y=f(x)$ 图形的
斜渐近线.

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