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无穷大
日期:
2022-12-27 14:39
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我们仅就 $x \rightarrow x_0$ 的情形来定义无穷大. 设 $f(x)$ 在 $\stackrel{\circ}{U\left(x_0\right)}$ 内有定义,如果当 $x \rightarrow x_0$ 时,对应的函数的绝对值 $|f(x)|$ 无限增大, 就说 $f(x)$ 是当 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷大量. 精确地说, 有下述定义. 定义 2 如果 $\forall M>0 \quad \exists \delta>0$ ,当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时,恒有 $|f(x)|>M$ , 则称函数 $f(x)$ 为 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷大量,简称无穷大,记作 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$. 若将上述 “ $|f(x)|>M$ "改成 $f(x)>M$ 或 $(x)<-M$ ,则有 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=+\infty$ ,称 $f(x)$ 为当 $x \rightarrow x_0$ 时的正无穷大, $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-\infty$ ,称 $f(x)$ 为当 $x \rightarrow x_0$ 时的负无穷大. 注 这里 $\lim _{x \rightarrow \infty \infty} f(x)=\infty$ 只是借用了极限的符号,并不意味着函数 $f(x)$ 存在极限, 因为无穷大 $\infty$ 不是数,不可与绝对值很大的常数混淆,无穷大是绝对值无限 增大的变量. 例2 证明 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1}=\infty$. 证明 $\forall M>0$ ,要使 $\left|\frac{1}{x-1}\right|>M$ ,即 $|x-1|<\frac{1}{M}$ ,取 $\delta=\frac{1}{M}$ ,则当 $0<|x-1|<\delta$ 时,恒 有 $\left|\frac{1}{x-1}\right|>M$ ,因此 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1}=\infty$. 直线 $x=1$ 是函数 $y=f(x)$ 图形的铅直渐近线 (见图1-50).  注 若 $\lim _{x \rightarrow i} f(x)=\infty$ 或 $\lim _{x \rightarrow 6} f(x)=\infty$ ,则直线 $x=x_0$ 称为函数 $y=f(x)$ 图形的铅直渐近线. 例 3 求曲线 $y=\frac{4 x-1}{(x-1)^2}$ 的渐近线方程. 解 因为 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{4 x-1}{(x-1)^2}=\infty$ ,所以 $x=1$ 是曲线的铅直渐近线; 因为 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x-1}{(x-1)^2}=0$ , 所以 $y=0$ 是曲线的水平渐近线. *注 若 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\(x \rightarrow \infty)}} \frac{f(x)}{x}=a \neq 0$ 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\(x \rightarrow \infty)}}[f(x)-a x]=b$ ,则直线 $y=a x+b$ 是函数 $y=f(x)$ 图形的 斜渐近线.
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搭建,最后更新于
2022-12-27 14:39
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