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标准正态分布
日期:
2023-01-03 08:58
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$\mu=0, \sigma^2=1$ 时的正态分布称为标准正态分布. 其概率密度函数和分布函数分别为 $$ \begin{aligned} & \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} \\ & \Phi(x)=\int_{-\infty}^x \varphi(t) \mathrm{dt}=P(X \leq x) \\ & -\infty<x<+\infty \end{aligned} $$  关于标准正态分布有以下结果:  例 11 设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，查表求下列概率值: (1) $P(-1<X \leq 1.22)$; (2) $P(|X| \leq 1.22)$ 解 (1) 查表并计算可得 $$ \begin{aligned} P(-1<X \leq 1.22) & =\Phi(1.22)-\Phi(-1)=\Phi(1.22)-(1-\Phi(1)) \\ & =0.8888-1+0.8413=0.7301 \end{aligned} $$ (2) 同样地 $$ \begin{aligned} P(|X| \leq 1.22) & =P(-1.22 \leq X \leq 1.22)=\Phi(1.22)+\Phi(-1.22) \\ & =2 \Phi(1.22)-1=0.7776 \end{aligned} $$ 一般地，有下列结论: 设随机变量 $X \sim N(0,1), c>0 $ 则 $$ \begin{aligned} & P(|X|<c)=\Phi(c)-\Phi(-c)=2 \Phi(c)-1 \\ & P(|X|>c)=1-P(|X| \leq c)=2-2 \Phi(c) \end{aligned} $$ 若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $$ P(a<X \leq c)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right) $$ 特别地 $\quad P(X \leq b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) ; P(X>a)=1-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$ 例 12 设 $X \sim N(0,4)$ ，试求概率 $P(X \leq 3), P(X \leq-3)$ 解 查表并计算可得 $$ P(X \leq 3)=\Phi\left(\frac{3-1}{2}\right)=\Phi(1)=0.8413 $$ $$ P(X \leq-3)=\Phi\left(\frac{-3-1}{2}\right)=1-\Phi(2)=0.0228 $$ 例 $13$ 设随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1) ， c$ 为何值时才能满足 $$ P(X \leq c)=0.95 $$ 解 由 $P(X \leq c)=\Phi(c)=0.95$ ，查附录 4 知 $$ \Phi(1.645)=0.95 \Rightarrow c=1.645 $$ 标准正态分布的分位数概念: 设 $X \sim N(0,1)$, 对给定的 $\alpha$, 若 数 $u_\alpha$ 满足 $$ \Phi\left(u_\alpha\right)=\int_{-\infty}^{u_\alpha} \varphi(x) \mathrm{d} x=P\left(X \leq u_\alpha\right)=\alpha $$ 称 $u_\alpha$ 为随机变量X的 $\alpha-$ 分位数 分位数的几何意义  例 14 某学校规定划分考生成绩的等级方法如下：考试成绩的实际考分在前10\%的为 $A$ 等，考分在前 $10 \%$ 以后但在前 $50 \%$ 的为 $B$ 等，考分在前 $50 \%$ 以后但在前 $85 \%$ 的为 C等，考分在后 $10 \%$ 的为D等.某次期末考试中，设考生的成绩X服从正态分 布 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，经计算可知 $\mu=73 ， \sigma^2=144$ ，求这次期末考试等级划 分的具体分数线。 解 由题意可知 $X \sim N(73,144)$ ，则 $$ \begin{aligned} & P(X \geq a)=1-\Phi\left(\frac{a-73}{12}\right)=0.1 \\ & \Rightarrow\left(\frac{a-73}{12}\right)=u_{0.9}=1.282 \Rightarrow a=88.384 \approx 88 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} & \text { 又 } P(X \geq b)=1-\Phi\left(\frac{a-73}{12}\right)=0.5 \\ & \Rightarrow\left(\frac{b-73}{12}\right)=u_{0.5}=0 \Rightarrow b=73 \\ & \text { 又 } P(X \leq c)=\Phi\left(\frac{a-73}{12}\right)=0.5 \\ & \Rightarrow\left(\frac{c-73}{12}\right)=u_{0.1}=-u_{0.9}=-1.282 \Rightarrow c \approx 58 \\ & \end{aligned} $$ 综述所求，可知，在此次考试中，分数在88.384以上的，为等级A，分数在73至88.384之间的，为等级B，分数在57.616至73之间的，为等级C，分数在57.616以下的，为等级D。
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