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曲率的计算方法
日期:
2022-12-28 15:41
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设曲线 $y=f(x)$ 其中 $f(x)$ 具二阶导数，由导数的几何意义知 $y^{\prime}=\tan \alpha$ ，显 然 $\alpha=\alpha(x)$ ，由 $y^{\prime}=\tan \alpha$ 两边求导得 $$ y^{\prime \prime}=\sec ^2 \alpha \cdot \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}=\left(1+\tan ^2 \alpha\right) \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} x}=\left(1+y^{\prime 2}\right) \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} s} \cdot \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} x} $$ 又 $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} x}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ ， 因此 $\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} s}=\frac{y^{\prime \prime}}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，这样 $K=\left|\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{ds}}\right|=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ 特别地，当 $\left|y^{\prime}\right|<<1$ 时 $K \approx\left|y^{\prime \prime}\right|$. 当曲线方程由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)^{\prime}\end{array}\right.$ ，给出时，由 $y^{\prime}=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime}(t)}$ $$ y^{\prime \prime}=\frac{\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)}{\varphi^{\prime 3}(t)} \text { ，得到 } K=\frac{\left|\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)\right|}{\left[\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}} $$ 例8 抛物线 $y=x^2+2 x$ 上哪一点处的曲率最大? 解 由 $y^{\prime}=2 x+2 ， y^{\prime \prime}=2$ ，得 $K=\frac{2}{\left[1+(2 x+2)^2\right]^{\frac{3}{2}}}$. 显然，当 $x=-1$ 时， $K_{\text {max }}=2$ ， 此时， $(-1,-1)$ ，为抛物线的顶点，可知抛物线的顶点处曲率最大. 例9 求正弦曲线 $y=\sin x$ 在区间 $[0, \pi]$ 上各点处的曲率. 解 由 $y^{\prime}=\cos x ， y^{\prime \prime}=-\sin x$ ，得 $K=\frac{|\sin x|}{\left(1+\cos ^2 x\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sin x}{\left(1+\cos ^2 x\right)^{\frac{3}{2}}}, 0 \leq x \leq \pi$ 在 $x=0$ 及 $x=\pi$ 处， $K=0$ ，即在点 $(0,0)$ 及点 $(\pi, 0)$ 的附近，正弦曲线接近直 线. 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处 $\cos x=, 0$ 分母最小且分子 $\sin x=1$ 取最大值. 所以曲率取最大值 1 ，也就是正弦曲线在点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 处弯曲最厉害. 例10 求椭圆 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=b \sin t\end{array}\right.$ 在点 $(0, b)$ 处的曲率. 解 点 $(0, b)$ 对应的参数 $t=\frac{\pi}{2}$, 由于 $\phi^{\prime}(t)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=-a \sin t, \phi^{\prime \prime}(t)=-a \cos t$, $$ \psi^{\prime}(t)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=b \cos t, \psi^{\prime \prime}(t)=-b \sin t $$ 故将 $t=\pi/2$ 带入得 $\quad \phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=-a, \quad \phi^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, \psi^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=0, \psi^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-b$, 由曲率公式，有 $K=\left.\frac{\left|\phi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\phi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)\right|}{\left[\phi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}}\right|_{t=\frac{\pi}{2}}=\frac{b}{a^2}$ 设曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x, y)$ 处的曲率为 $K$ $(K \neq 0)$ ， 在点 $M$ 处的曲线的法线上凹的一侧 取点 $D$ 使 $|D M|=\frac{1}{K}=\rho$ ，以 $D$ 为圆心、 $\rho$ 为半径 作圆，称这个圆为曲线在点 $M$ 处的曲率圆，曲率 圆的圆心 $D$ 叫作曲线在点 $M$ 处的曲率中心，曲 率圆的半径 $\rho$ 叫作曲线在点 $M$ 处的曲率半径 (见图2-72).  由上述定义可知: (1) 曲率圆与曲线在点 $M$ 处有相同的切线与曲率，且在点 $M$ 的邻近有相同的凹 向，因此，往往可用曲率圆在点 $M$ 附近的一段弧来近似代替曲线弧，而使问题得 到简化. (2) $\rho=\frac{1}{K^{\prime}}, K=\frac{1}{\rho}$ 例11 求曲线 $y=\tan x$ 在点 $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ 处的曲率与曲率半径. 解 $y^{\prime}=\sec ^2 x, y^{\prime \prime}=2 \sec ^2 x \tan x=\frac{2 \sin x}{\cos ^3 x}$, 曲率 $K$ 及曲率半径 $\rho$ 分别为 $$ K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}, R=\frac{1}{K}=\frac{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left|y^{\prime \prime}\right|} . $$ 由 $\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{1}{4}} 及=\left.2 \quad y^{\prime \prime}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}=4$, 得点 $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ 处的曲率与曲率半径分别为 $K=\frac{4 \sqrt{5}}{25}, \rho=\frac{5 \sqrt{5}}{4}$. 例12 设一工件上的椭圆孔形 $\overparen{C B D}$ 为椭圆 $\frac{x^2}{40^2}+\frac{y^2}{50^2}=1$ 上的一段弧 (见图2-73) 若用砂轮磨削其内表面，问: 砂轮的直径最大可选为多少? 解 求弧 $\overparen{C B D}$ 在 $B$ 点处的曲率. 弧 $\overparen{C B D}$ 的方程为 $$ \begin{aligned} & y=-50 \sqrt{1-\frac{x^2}{40^2}}=-\frac{5}{4} \sqrt{1600-x^2} \\ & y^{\prime}=\frac{5}{4} \cdot \frac{x}{\sqrt{1600-x^2}} \quad y^{\prime \prime}=\frac{2000}{\left(1600-x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned} $$ 在点 $x=0$ 处， $y^{\prime} = 0 \quad y^{\prime \prime}=\frac{1}{32}$ 代入曲率公式得 $B$ 点处的曲率 $K=\frac{1}{32}$ 曲率半径 $\rho=32$ 所以砂轮的直径不得超过64个单位 
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2022-12-28 15:41
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