最后更新: 2024-11-22 22:36 查看: 248 次纠错评论(0) 课件开VIP

复习十一：解析几何

## 直线的方程:
本站在线教程请点击[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=150)

### 常见形式
一般式方程: $A x+B y+C-0$ ；
点法式方程: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0$;
斜截式方程： $y=k x+b$ ；
点斜式方程: $y-y_0=k\left(x-x_0\right)$;
截距式方程: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ ；
两点式方程: $\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2}{x_2-y_1}$.

### 直线的参数方程
直线的参数方程 $$ \left\{\begin{array}{l}
x=x_0+t \cos \phi \\
y=y_0+t \sin \phi
\end{array}\right.$$
其中，$\phi$ 是直线的倾斜角。$|t|$ 表示直线上任一点到 $\left(x_0, y_0\right)$ 的距离。更一般地,可以写成 $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a t \\ y=y_0+b t\end{array}\right.$, 若 $a^2+b^2 \neq 1$, 则此时的 $|t|$不再表示距离，这一点需要注意。

### 点到直线距离公式
点 $\left(x_0, y_0\right)$ 到直线 $A x+B y+C=0$ 的距离公式: $\frac{\left|A x_0+B y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

### 两条平行直线距离公式
两条平行直线 $A x+B y+C_1=0$ 和 $A x+B y+C_2=0$的距离公式: ${\frac{\left|C_1-C_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}}$.

### 平面的方程:
一般式方程: $A x+B y+C z+D=0$ ；
点法式方程: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$ ；
截距式方程: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

### 点到平面距离公式
点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 到平面 $A x+B y+C z+D=0$ 的距离公式: $\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

### 判别式
设二次方程 $a x^2+b x+c=0$ 的两根为 $x_1, x_2$, 判别式为 $\Delta$, 则 $\left|x_1-x_2\right|={\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}}, x_1^2+x_2^2={\frac{b^2-2 a c}{a^2}}$.

## 圆锥曲线得标准方程

圆的标准方程 $x^2+y^2+D x+E y+F=0$
椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$
双曲线的标准方程 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0) .$
抛物线的标准方程$y^2=2px$

### 准线
椭圆和双曲线的准线方程是 $x= \pm \frac{a^2}{c}$.

### 点差法

点差法, 在椭圆上取不同的两点 $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right)$, 则

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1 \\
\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1
\end{array}\right.
$$

两式相减, 有 $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-\frac{b^2\left(x_2+x_1\right)}{y_2+y_1}$.
如果是双曲线, 则 $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{b^2\left(x_2+x_1\right)}{y_2+y_1}$.

### 离心率
圆锥曲线 (不包括圆) 的统一极坐标方程: $\rho=$ $\frac{e p}{1-e \cos \theta} \cdot \quad p$ 代表焦点到准线的距离。 $e$ 是离心率。椭圆: $0<e<1$; 抛物线: $e=1$; 双曲线: $e>1$.过焦点且倾斜角为 $\theta$ 的弦的长度为 $\frac{2 e p}{1-e^2 \cos ^2 \theta}$.

## 参数方程
 
双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的参数方程: $\left\{\begin{array}{l}x=\underline{\frac{a}{\cos \theta}} \\ y=\underline{b \tan \theta}\end{array}\right.$.

抛物线 $y^2=2 p x$ 的参数方程: $\left\{\begin{array}{l}x=\underline{2 p t^2} \\ y=\underline{2 p t}\end{array}\right.$.

平摆线参数方程: $\left\{\begin{array}{l}x=R(\theta-\sin \theta) \\ y=R(1-\cos \theta)\end{array}\right.$.

圆的渐开线参数方程: $\left\{\begin{array}{l}x=R(\cos \theta+\theta \sin \theta) \\ y=R(\sin \theta-\theta \cos \theta)\end{array}\right.$.

### 面积
椭圆面积公式为 $\pi a b$,  椭球 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的体积公式为 $\frac{4}{3} \pi a b c$,

到平面上两定点的距离之比为不等于 1 的定值的点的轨迹是圆 (称为 "阿波罗尼奥斯圆")。

$\odot O$ 的半径是 $R$, 且 $O, A, A^{\prime}$ 三点共线, 如果 $|O A| \cdot\left|O A^{\prime}\right|=R^2$, 则 $A$ 点与 $A^{\prime}$ 点互为 "反演点"。
 ![图片](/uploads/2024-09/088037.jpg)
 
 
 ### 切线
 椭圆上一点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的切线斜率为 $-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$, 切线方程为 $\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}=1$  
 双曲线上一点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的切线斜率为 $\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$, 切线方程为 $\frac{x x_0}{a^2}-\frac{y y_0}{b^2}=1$ 
 抛物线 $y^2=2 p x$ 上一点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的切线斜率为 $\frac{p}{y_0}$,切线方程为 $y y_0=p\left(x+x_0\right)$ 
 
 ### 直线与椭圆位置关系
 判断直线 $l: A x+B y+C=0$ 与椭圆的位置关系, 将直线方程变形为

$$
\frac{\left(-\frac{A a^2}{C}\right) x}{a^2}+\frac{\left(-\frac{B b^2}{C}\right) y}{b^2}=1
$$

设 $P\left(-\frac{A a^2}{C},-\frac{B b^2}{C}\right)$, 当 $P$ 点在椭圆内部时（即 $\left.A^2 a^2+B^2 b^2<C^2\right)$, 直线 $l$ 与椭圆相离; 当 $P$ 点在椭圆上时, 直线 $l$ 与椭圆相切; 当 $P$ 点在椭圆外部时, 直线 $l$ 与椭圆相交。

## 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ :

**第一定义**
平面内与两个定点 $F_1 、 F_2$ 的距离之和等于常数 $2 a\left(2 a>\left|F_1 F_2\right|\right)$ 的点的轨迹称为椭圆。即椭圆上的点 $M$ 满足

$$
\left|M F_1\right|+\left|M F_2\right|=2 a
$$

其中 $F_1 、 F_2$ 为椭圆的焦点， $2 c=\left|F_1 F_2\right|$ 为椭圆的焦距， $2 a$ 为椭圆的长轴,$2 b$ 为椭圆的短轴。

**第二定义**

平面上到定点 $F$ 与到定直线 $l$ 距离之比为常数 $e(0<e<1)$ 的点的轨迹为椭圆。其中定点 $F$ 为椭圆的焦点，定直线 $l$ 为椭圆的准线，常数 $e$ 为椭圆的离心率。

普通椭圆主要参数(a,b,c)的意义
 ![图片](/uploads/2024-11/c1f552.jpg){width=500px}

**几何性质**

标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若 $a>b>0$ ，则椭圆焦点在 $x$ 轴上；若 $b>a>0$ ，则椭圆焦点在 $y$ 轴上。下面以焦点在 $x$ 轴上的椭圆为例进行介绍。

**离心率** 
椭圆的离心率 $e$ 定义为
$$
e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{b^c}{a^2}}
$$

由于 $a>b>0$ ，因此陏圆离心率范围为 $0<e<1$ ；且离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆。

> 离心率反映椭圆的相似度，如果两个椭圆离心率相同，则椭圆骨架相似。离心率是考试的重点

例如：求经过点 $M(1,2)$, 且与椭圆 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1$ 有相同离心率的椭圆的标准方程.
此时，可以直接设椭圆方程为 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=k$ ，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=708)

**参数方程**

$\left\{\begin{array}{l}x={a \cos \theta} \\ y={b \sin \theta}\end{array}\right.$.

**准线**

椭圆有两条准线，方程为
$$
x= \pm \frac{a^2}{c}
$$

显然，两条准线均垂直于长轴，且在椭圆外。

**斜率性质**

以下三种情形，斜率之积为定值。详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=711) 
$k_{A P} \cdot k_{B P}=k_{O T} \cdot k_{P T}=k_{O M} \cdot k_{A B}=-\frac{b^2}{a^2} .$
 ![图片](/uploads/2024-09/4cc23f.jpg)

## 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的性质:
 从不在双曲线上的一点做双曲线的两条切线, 如果两条切线垂直, 那么切线交点的轨迹也是一个圆 (蒙日圆, 外准圆), 圆的方程为 $x^2+y^2=\left|a^2-b^2\right|$ 。
 从双曲线的中心 $O$ 引出两条相互垂直的向径, 与双曲线分别交于 $P, Q$ 两点, 从 $O$ 点向 $P, Q$ 作垂线, 垂足为 $H$, 那么 $H$ 点的轨迹也是一个圆 (内准圆), 内准圆的方程是 $x^2+y^2=\frac{a^2 b^2}{b^2-a^2}$. 双曲线内准圆存在的充要条件是虚轴大于实轴, 即离心率大于 $\sqrt{2}$.
双曲线上任意一点 $P\left(x_0, y_0\right)$, 过 $P$ 点作两条相互垂直的直线, 这两条直线与双曲线的除 $P$ 点之外的交点分别是 $Q, R$ ，那么线段 $Q R$ 过定点。

$$
\left(\frac{\left(a^2+b^2\right) x_0}{a^2-b^2},-\frac{\left(a^2+b^2\right) y_0}{a^2-b^2}\right)
$$
必须满足 $a \neq b$, 定点才存在。

过平面上任意一点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 作双曲线的两条垂直弦 $P Q, R S$, 弦 $P Q, R S$ 的中点分别为 $K, L$, 那么线段 $K L$过定点。

$$
\left(\frac{a^2 x_0}{a^2-b^2},-\frac{b^2 y_0}{a^2-b^2}\right)
$$

必须满足 $a \neq b$, 定点才存在。
  双曲线上任意一点 $P\left(x_0, y_0\right)$, 过 $P$ 点作两条斜率互为相反数的直线, 这两条直线与双曲线的除 $P$ 点之外的交点分别是 $Q, R$, 那么直线 $Q R$ 的斜率是定值, 且与过 $P$的切线的斜率互为 相反数。
  
 $P$ 为双曲线上一点, $F_1, F_2$ 是双曲线的左右焦点, $\angle F_1 P F_2=\theta$, 则 $S_{\triangle F_1 P F_2}=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta}{2}}$.
 设 $k>0$, 则等轴双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 的实半轴和虚半轴的长度均为 $\sqrt{2 k}$, 焦点坐标是 $( \pm \sqrt{2 k}, \pm \sqrt{2 k})$ 。
 
 ## 抛物线 $y^2=2 p x$ 的性质:
  抛物线的焦点为 $F$, 顶点为 $O$, 过焦点的直线与抛物线交于 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 两点, 则

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{|F P|}+\frac{1}{|F Q|}=\frac{1-\cos \theta}{p}+\frac{1-\cos \theta}{p}=\frac{2}{p} ; \\
& |F P|+|F Q|=\frac{p}{1-\cos \theta}+\frac{p}{1+\cos \theta}=\frac{\overline{2 p}}{{\sin ^2 \theta}} ; \\
& y_1 y_2={-p^2}, x_1 x_2=\frac{y_1^2}{2 p} \cdot \frac{y_2^2}{2 p}={\frac{p^2}{4}} ;
\end{aligned}
$$

抛物线的对称轴上有一个固定点 $M\left(x_0, 0\right)$, 过 $M$ 的直线与抛物线交于 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 两点, 则 $y_1 y_2={-2 p x_0}, x_1 x_2=\frac{y_1^2}{2 p} \cdot \frac{y_2^2}{2 p}={x_0^2}$.
 
 
  抛物线的顶点为 $O, A, B$ 两点在抛物线上, 若 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=$ $-p^2$, 则直线 $A B$ 过定点 $(p, 0)$.
 从准线上的一点 $P\left(-\frac{p}{2}, y_0\right)$ 向抛物线作两条切线, 设切点分别为 $Q, R$, 则这两条切线 $P Q, P R$ 相互垂直。设抛物线焦点为 $F$, 那么 $Q R$ 恒过 焦点, 且 $P F \perp Q R$.
 抛物线上任意一点 $P\left(x_0, y_0\right)$, 过 $P$ 点作两条相互垂直的直线, 这两条直线与抛物线的除 $P$ 点之外的交点分别是 $Q, R$, 那么线段 $Q R$ 过定点 $\left(x_0+2 p,-y_0\right)$.
 抛物线上任意一点 $P\left(x_0, y_0\right)$, 过 $P$ 点作两条斜率互为相反数的直线, 这两条直线与抛物线的除 $P$ 点之外的交点分别是 $Q, R$, 那么直线 $Q R$ 的斜率是定值，且与过 $P$的切线的斜率互为 相反数。

## 有用的结论
### 椭圆中点弦斜率与方程
椭圆中点弦斜率:
AB 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的不平行于对称轴的弦， $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}_0, \mathrm{y}_0\right)$ 为 AB 的中点，则 $K_{O A} \cdot K_{A B}=\frac{b^2}{a^2}$ ，即 $K_{A B}=\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$.

更多结论参加 [http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=712](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=712)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：复习九：复数

下一篇：复习十二：排列组合与概率统计

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)