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复习十二：排列组合与概率统计

本章教程  http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1409

## 排列组合
排列 
$$
\mathrm{P}_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}
$$

组合 
$\mathrm{C}_n^m=$ $\frac{n!}{m!(n-m)!}$.

$$
\mathrm{C}_n^m=\frac{\mathrm{P}_n^m}{\mathrm{P}_m^m}=\frac{\frac{n!}{(n-m)!}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}
$$

**性质1**

$$
\mathrm{C}_n^m=\mathrm{C}_n^{n-m}
$$

**性质2**

$$
\mathrm{C}_{n+1}^m=\mathrm{C}_n^m+\mathrm{C}_n^{m-1}
$$

## 二项式定理

关于二项式定理教程请参考   
http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1409
http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1313

$$
\begin{aligned}
& (a+b)^n=\sum_{r=0}^n C_n^r a^{n-r} b^r=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1} b+\cdots+C_n^r a^{n-r} b^r+\cdots+C_n^n b^n
\end{aligned}
$$

这就是二项式定理，等式右边即为 $(a+b)^n$ 的二项展开式，它共有 $n+1$ 项
$C_n^r a^{n-r} b^r$ 叫做二项展开式的第 $r+1$ 项，也即通项，用 $T_{r+1}$ 表示
$$
T_{r+1}=C_n^r a^{n-r} b^r
$$
$C_n^r \quad(r=0,1,2, \cdots, n)$ 叫做第 $r+1$ 项的二项式系数
 
 
#### 记忆
可以使用杨辉三角进行记忆
![图片](/uploads/2023-01/378148.jpg){width=500px}

## 二项式系数的性质

#### （1）对称性
$$
C_n^k=C_n^{n-k}
$$

#### （2）单峰性
$n$ 为偶数时
$$
\begin{aligned}
& C_n^0<C_n^1<\cdots<C_n^{n / 2-1}<C_n^{n / 2} \\
& C_n^{n / 2}>C_n^{n / 2+1}>\cdots>C_n^{n-1}>C_n^n
\end{aligned}
$$
$n$ 为奇数时
$$
\begin{aligned}
& C_n^0<C_n^1<\cdots<C_n^{(n-1) / 2}=C_n^{(n+1) / 2} \\
& C_n^{(n-1) / 2}=C_n^{(n+1) / 2}>\cdots>C_n^{n-1}>C_n^n
\end{aligned}
$$

#### 帕斯卡恒等式

设 $n, k \in \mathbb{N}^* ， n \geq k$
$$
C_{n+1}^k=C_n^k+C_n^{k-1}
$$

## 二项式展开式
 $ (a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1} b+C_n^2 a^{n-2} b^2+\ldots+C_n^n b^n $
 
(1)展开式共 $n+1$ 项, 各项次数为 $n$.
(2)各项规律: $a$ 降幂 $(n \rightarrow 0)$; $b$ 升幂 $(0 \rightarrow n)$
(3)展开式的通项or第 $k+1$ 项: $T_{k+1}=C_n^k a^{n-k} b^k(k=0,1,2, \ldots, n)$
(4)各项的二项式系数 : $C_n^k(k=0,1,2, \ldots, n)$
如: $(1+2 x)^6$ 的第 4 项的二项式系数是 $C_6^3=20$.
(5)与首末等距的两个二项 式系数相等, 即 $C_n^k=C_n^{n-k}(k=0,1,2, \ldots, n)$

#### 基础题1
求 $\left(x+\frac{1}{x}\right)^6$ 的展开式

解：先写通项,再将 $0,1,2, \ldots n$ 代入 $k$
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^6=\left(x+x^{-1}\right)^6$, 通项为 $C_6^k x^{6-k} x^{-k}=C_6^k x^{6-2 k}(k=0,1, \ldots, 5,6)$
$$
\begin{aligned}
\therefore\left(x+\frac{1}{x}\right)^6 & =C_6^0 x^6+C_6^1 x^4+C_6^2 x^2+C_6^3+C_6^4 x^{-2}+C_6^5 x^{-4}+C_6^6 x^{-6} \\
& =x^6+6 x^4+15 x^2+20+15 x^{-2}+6 x^{-4}+x^{-6}
\end{aligned}
$$

#### 基础题2
求 $\left(3 \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$ 的展开式.

解：原式 $=\left(\frac{3 x+1}{\sqrt{x}}\right)^4=\frac{1}{x^2}(1+3 x)^4$, 
括号内先化简,再展开 $(1+3 x)^4$ 的通项为 
$C_4^k(3 x)^k=C_4^k 3^k x^k(k=0,1,2,3,4)$
$\therefore$ 展开式为 $x^{-2}\left(1+12 x+54 x^2+108 x^3+81 x^4\right)$
$$
=x^{-2}+12 x^{-1}+54+108 x+81 x^2
$$

### 逆用二项式定理
#### 基础题1
求 $1+2 C_n^1+4 C_n^2+\ldots+2^n C_n^n=\underline{} \quad , a=1, b=3$
解： 原式 $=C_n^0 \cdot 2^0+C_n^1 \cdot 2+C_n^2 \cdot 2^2+\ldots+C_n^n \cdot 2^n=(1+2)^n=3^n$

#### 基础题2
求 $C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+\ldots+C_{10}^{10}=\underline{}$.
解：令 $a=b=1$, 得 $(a+b)^n$ 的二项式系数之和为 $2^n$,
即 $C_n^0+C_n^1+C_n^2+\ldots+C_n^n=2^n$. 只与 $n$ 有关, 与 $a, b$ 无关.

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