最后更新: 2026-02-05 22:14 查看: 239 次纠错评论(0) 课件开VIP

高中数学公式

## 等差数列与一次函数

数列可以看成以正整数集 $N _{+}$（或它的有限子集 $\{1,2, \cdots, n\}$ ）为定义域的函数 $a_n=f(n)$ ，因而可以利用函数知识来研究数列的性质。我们先看两个具体例子
 
例：求下列等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式，
（1）$a_1=1, d=3$ ；
（2）$a_1=7, d=-2$ ．
解：不难求得，等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式分别为：
（3）$a_n=3 n-2$ ；
（4）$a_n=-2 n+9$ ．

如果我们把$a_n$ 看成$y$,$n$看成$x$ 则上面通项可以写成
(5) $y=3x-2$
(6) $y=2n+9$

比较厚不难发现，等差数列可以看成定义域$x$取正整数的一次函数。

两者对比如下表

| 一次函数 $y=kx+b$ | 等差数列通项 $a_n=dn+(a_1-d)$ | 含义 |
    |--------------------|--------------------------------|------|
    | 自变量 $x$        | 项数 $n$（正整数）| 描述“位置”的变量 |
    | 斜率 $k$          | 公差 $d$                       | 恒定的**变化率**（一次函数中x每增1，y增k；等差数列中n每增1，$a_n$增d） |
    | 纵截距 $b$        | 常数项 $a_1 - d$               | 形式上的截距（无实际数列意义，因n最小为1） |
    | 函数值 $y$        | 第n项 $a_n$                    | 描述“位置n对应的数值” |

特殊情况：若公差 $d=0$，等差数列退化为**常数列**（$a_n=a_1$），对应一次函数中**斜率k=0**的常函数（$y=b$），常函数是一次函数的特例（部分教材定义一次函数k≠0，此时常数列对应常函数，而非严格一次函数）。
  
 `例`  已知等差数列$\{a_n\}$的对应一次函数为$y=kx+b$，且该数列满足$a_2=5$，$a_5=14$，求$k$和$b$的值，并写出数列通项。

解： 解题步骤
**核心思路**：一次函数斜率$k=$公差$d$，先求$d$得$k$，再代入点求$b$
① 求斜率$k$（公差$d$）：两点$(2,5)$、$(5,14)$，$k = \frac{14-5}{5-2} = 3$；
② 求截距$b$：将$k=3$，点$(2,5)$代入$y=3x+b$，得$5=3×2+b$→$b=5-6=-1$；
③ 一次函数解析式：$y=3x-1$；
④ 数列通项：$\boldsymbol{a_n=3n-1}$。

答案
$k=3$，$b=-1$，通项$a_n=3n-1$。

## 等差数列前$n$项和与二次函数的关联

等差数列的**前n项和公式**是**二次函数形式**，进一步体现数列与函数的联系：
等差数列前$n$项和 $S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$，整理得：
$$
S_n = \frac{d}{2}n^2 + (a_1 - \frac{d}{2})n
$$

即等差数列的和形如 $y = Ax^2 + Bx$（二次函数，无常数项），其中$A=\frac{d}{2}$，$B=a_1-\frac{d}{2}$，其图像是**抛物线**

因此 可利用二次函数的最值、对称轴求解等差数列前n项和的最值。

`例`已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=n^2+2 n$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列．
解（1）当 $n \geqslant 2$ 时，

$$
S_{n-1}=(n-1)^2+2(n-1),
$$

从而

$$
a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2 n-\left[(n-1)^2+2(n-1)\right]=2 n+1 .
$$

而当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=1^2+2 \times 1=3$ 亦满足上式．
所以，数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=2 n+1$ ．
（2）证明：由（1）中的结果，当 $n \geqslant 2$ 时，

$$
a_{n-1}=2(n-1)+1=2 n-1
$$

从而

$$
a_n-a_{n-1}=(2 n+1)-(2 n-1)=2 .
$$

所以，数列 $\left\{a_n\right\}$ 是一个以 3 为首项，以 2 为公差的等差数列．

**本题如果是填空题，可以利用性质公式，秒解。但是如果是解答题，需要按部就班解答。**

`例`已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\cdots+\sqrt{a_n}=\frac{n(n+1)}{2}$ ，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为

A．$a_n=n$
B $\cdot a_n=n^2$
С．$a_n=\frac{n}{2}$
D．$a_n=\frac{n^2}{2}$

解：
$$
\begin{aligned}
& \because \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\cdots+\sqrt{a_n}=\frac{n(n+1)}{2}, \\
& \therefore \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\cdots+\sqrt{a_{n-1}}=\frac{n(n-1)}{2}(n \geqslant 2),
\end{aligned}
$$

两式相减得 $\sqrt{a_n}=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n-1)}{2}=n(n \geqslant 2)$ ，

$$
\therefore a_n=n^2(n \geqslant 2) ...(1) ,
$$

又当 $n=1$ 时，$\sqrt{a_1}=\frac{1 \times 2}{2}=1, a_1=1$ ，适合（1）式，

$$
\therefore a_n=n^2, n \in N ^* .
$$

`例`已知公差为 1 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_5^2=a_3 a_6$ ，若该数列的前 $n$ 项和 $S_n=0$ ，则 $n$ 等于 
解析：由题意知 $\left(a_1+4\right)^2=\left(a_1+2\right)\left(a_1+5\right), n a_1+\frac{n(n-1)}{2}=0$ ，解得 $a_1=-6, ~ n=13$ ．

`例` 已知 $S_n$ 是等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_1=-2020, \frac{S_{2020}}{2020}-\frac{S_{2014}}{2014}=6$ ，则 $S_{2023}$ 等于

A． 2023
B．-2023
C． 4046
D．-4046

解：$\because\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 为等差数列，设公差为 $d^{\prime}$ ，
则 $\frac{S_{2020}}{2020}-\frac{S_{2014}}{2014}=6 d^{\prime}=6, \therefore d^{\prime}=1$ ，
首项为 $\frac{S_1}{1}=-2020$ ，
$\therefore \frac{S_{2023}}{2023}=-2020+(2023-1) \times 1=2$ ，
$\therefore S_{2023}=2023 \times 2=4046$ ，故选C．

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