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复习八：平面向量

本章学习教程 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=755

## 向量点乘

$\vec{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right), \vec{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right)$, 两者的数量积 ( "点乘" ) 定义为

$$
\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a} \| \vec{b}| \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle={a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3}
$$

$\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的余弦为

$$
\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$

### 内积运算有以下应用
本节内容教程 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167

#### 判定两向量垂直
 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Longleftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$
#### 判定两向量共线
$$
\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b} \Longleftrightarrow|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}|
$$

#### 数量积的坐标运算
若 $\boldsymbol{a}=(m, n), \boldsymbol{b}=(p, q)$ ，则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=m p+n q$

#### 向量的模
$$
|\boldsymbol{a}|=\sqrt{m^2+n^2}
$$

#### 两向量的夹角

$$
\cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}|}
$$

## 向量叉乘*
 $\vec{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right), \vec{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right)$, 这两者的向量积 ( "叉乘" ) 定义为

$$
\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{array}\right|
$$

$$
=\left(a_2 b_3-a_3 b_2, a_3 b_1-a_1 b_3, a_1 b_2-a_2 b_1\right)
$$

## 向量基本定理
如果 $\overrightarrow{e_1}$ 与 $\overrightarrow{e_2}$ 是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量 $\vec{a}$ ，都可唯一地表示为 $\vec{e}_1$ 与 $\overrightarrow{e_2}$ 的线性组合，即存在唯一的一对实数 $\lambda$ 与 $\mu$, 使得 $\vec{a}=\lambda \overrightarrow{e_1}+\mu \overrightarrow{e_2}$.

### 其它结论
平面上有不同的四点 $O, P, Q, R$, 设 $\overrightarrow{O R}=\lambda \overrightarrow{O P}+\mu \overrightarrow{O Q}$,则 $P, Q, R$ 三点共线的充要条件是 $\lambda+\mu=1$.

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