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复习七：极限与导数

187．极限的定义
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的附近有定义，如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的正数 $\varepsilon$ ，一定存在 $\delta>0$ ，使不等式 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 在 $\left|x-x_0\right| \in(0, \delta)$ 时恒成立，那么常数 $A$ 叫做函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限，记作：

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A
$$

188．特殊数列的极限
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} q^n= \begin{cases}0, & |q|<1 \\ 1, & q=1 \\ \text { 不存在，} & |q|<1 \text { 或 } q=-1\end{cases}$
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_k n^k+a_{k-1} n^{k-1}+\cdots+a_0}{b_t n^t+b_{t-1} n^{t-1}+\cdots+b_0}= \begin{cases}0, & (k<t) \\ \frac{a_t}{b_k}, & (k=t) \\ \text { 不存在，} & (k>t)\end{cases}$
（3）$S=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}\left(S\right.$ 无穷等比数列 $\left\{a_1 q^{n-1}\right\}(|q|<1)$ 的和 $)$ ．
189．函数的极限定理

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=a \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=a .
$$

190．函数的夹逼性定理
若函数 $f(x), g(x), h(x)$ 在点 $x_0$ 的附近满足：
（1）$g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=a, \lim _{x \rightarrow x_0} h(x)=a$（常数），则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=a$ ．
本定理对于单侧极限和 $x \rightarrow \infty$ 的情况仍然成立．
191．几个常用极限
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} a^n=0(|a|<1)$
（3） $\lim _{x \rightarrow x_0} x=x_0$
（4） $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{1}{x}=\frac{1}{x_0}$
192．两个重要的极限
（1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= e ( e =2.718281845 \cdots)$

193．函数极限的四则运算法则
若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=a, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=b$ ，则
（1） $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x) \pm g(x)]=a \pm b$ ；
（2） $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x) \cdot g(x)]=a \cdot b$ ；
（3） $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}(b \neq 0)$ ．
194．数列极限的四则运算法则
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=b$ ，则
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n \pm b_n\right)=a \pm b$ ；
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n \cdot b_n\right)=a \cdot b$ ；

## 导数
195．导函数的定义

$$
f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

求导数值的一般步骤：
（1）求函数的增量：$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ ；
（2）求平均变化率：$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ ；
（3）求极限，得导数：$f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ ．
196．函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数（或变化率或微商）

$$
f^{\prime}\left(x_0\right)=\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

197．瞬时速度

$$
v=s^{\prime}(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}
$$

198．瞬时加速度

$$
a=v^{\prime}(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}
$$
199．函数 $f(x)$ 在点 $(a, b)$ 处的导数

$$
f^{\prime}(x)=y^{\prime}=\frac{d y}{d x}=\frac{d f}{d x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
$$

200．函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数的几何意义
函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在 $P\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处的切线的斜率，相应的切线方程是 $y-y_0=f^{\prime}\left(x_0\right)$ $\left(x-x_0\right)$ ．

$$
k=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x)}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right)
$$

![图片](/uploads/2025-06/74ae0f.jpg)
 
 201．几种常见函数的导数

$$
\begin{aligned}
& \text { (1) } C^{\prime}=0(C \text { 为常数 }) \\
& \text { (2) }\left(x^n\right)^{\prime}=n x^{n-1}(n \in Q) \\
& \text { (3) }(\sin x)^{\prime}=\cos x \\
& \text { (4) }(\cos x)^{\prime}=-\sin x \\
& \text { (5) }\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x} \log _a e=\frac{1}{x \ln a} \\
& \text { (6) }(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} \\
& \text { (7) }\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a \\
& \text { (8) }\left(e^x\right)^{\prime}=e^x
\end{aligned}
$$

202．导数的运算法则

$$
\begin{aligned}
& \text { (1) }(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime} \\
& \text { (2) }(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}
\end{aligned}
$$

（3）$\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^2}(v \neq 0)$
203．复合函数的求导法则
设函数 $u=\phi(x)$ 在点 $x$ 处有导数 $u_x^{\prime}=\phi^{\prime}(x)$ ，函数 $y=f(u)$ 在点 $x$ 处的对应点 $U$ 处有导数 $y_u^{\prime}=f^{\prime}(u)$ ，则复合函数 $y=f(\phi$ $(x))$ 在点 $x$ 处有导数，且 $y_x^{\prime}=y_u^{\prime} \cdot u_x^{\prime}$ ，或写作 $f_x^{\prime}(\phi(x))=f^{\prime}(u) \phi^{\prime}(x)$ ．

204．常用的近似计算公式（当 $|x|$ 充分小时）（了解）
（1）$\sqrt{1+x} \approx 1+\frac{1}{2} x ; \sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n} x$ ；
（2）$(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x(\alpha \in R) ; \frac{1}{1+x} \approx 1-x$ ；
（3） $e ^x \approx 1+x$ ；
（4） $\ln (1+x) \approx x$ ；
（5） $\sin x \approx x$（ $x$ 为弧度）；
（6） $\tan x \approx x$（ $x$ 为弧度）；
（7） $\arctan x \approx x$（ $x$ 为弧度）

205．判别 $f\left(x_0\right)$ 是极大（小）值的方法
当函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续时，
（1）若在 $x_0$ 附近的左侧 $f^{\prime}(x)>0$ ，右侧 $f^{\prime}(x)<0$ ，则 $f\left(x_0\right)$ 是极大值；
（2）若在 $x_0$ 附近的左侧 $f^{\prime}(x)<0$ ，右侧 $f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f\left(x_0\right)$ 是极小值．
206．导数的应用：
可导函数求单调区间或判断单调性的方法：使 $f^{\prime}(x)>0$ 的区间为增区间，使 $f^{\prime}(x)<0$ 的区间为减区间．
可导函数 $f(x)$ 求极值的步骤：
（1）求导数 $f^{\prime}(x)$
（2）求方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的根 $x_1, x_2, \cdots, x_n$
（3）检验 $f^{\prime}(x)$ 在方程的根的附近左右值的符号，若左正右负，则在这个根处取极大值，若左负右正，则在这个根处取极小值

207．连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值
函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则求 $f(x)$ 最大值、最小值的步骤与格式为：
（1）求导数 $f^{\prime}(x)$
（2）求方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的根 $x_1, x_2, \cdots, x_n$
（3）结合在 $[a, b]$ 上的根及闭区间 $[a, b]$ 的端点数值，列出表格若 $\left(a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b\right)$
 ![图片](/uploads/2025-06/76f9e7.jpg)
 
 （4）根据上述表格的单调性及的大小，确定最大值与最小值．
208．六类函数图像与性质

![图片](/uploads/2025-06/bfb23f.jpg)

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