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复习六：排列组合与概率统计

## 计数原理
157．分类计数原理（加法原理）

$$
N=m_1+m_2+\cdots+m_n
$$

158．分步计数原理（乘法原理）

$$
N=m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n
$$

159．排列数公式

$$
A_n^m=n(n-1) \cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} .\left(n, m \in N^* \text {, 且 } m \leqslant n\right) \text {. }
$$

注：规定 $0!=1$ ．
160．排列恒等式

$$
\begin{aligned}
& A_n^m=(n-m+1) A_n^{m-1} \\
& A_n^m=\frac{n}{n-m} A_{n-1}^m \\
& A_n^m=n A_{n-1}^{m-1} \\
& n A_n^n=A_{n+1}^{n+1}-A_n^n \\
& A_{n+1}^m=A_n^m+mA_n^{m-1} \\
& 1!+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+\cdots+n \cdot n!=(n+1)!-1
\end{aligned}
$$

161．组合数公式

$$
C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1) \cdots(n-m+1)}{1 \times 2 \times \cdots \times m}=\frac{n!}{m!\cdot(n-m)!}\left(n \in N^*, m \in N \text {, 且 } m \leqslant n\right) \text {. }
$$

162．组合数的两个性质

$$
\begin{aligned}
& C_n^m=C_n^{n-m} \\
& C_n^m+C_n^{m-1}=C_{n+1}^m
\end{aligned}
$$

注：规定 $C_n^0=1$ ．
163．组合恒等式

$$
\begin{aligned}
& C_n^m=\frac{n-m+1}{m} C_n^{m-1} \\
& C_n^m=\frac{n}{n-m} C_{n-1}^m \\
& C_n^m=\frac{n}{m} C_{n-1}^{m-1} \\
& \sum_{r=0}^n C_n^r=2^n \\
& C_r^r+C_{r+1}^r+C_{r+2}^r+\cdots+C_n^r=C_{n+1}^{r+1} \\
& C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^r+\cdots+C_n^n=2^n \\
& C_n^1+C_n^3+C_n^5+\cdots=C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots 2^{n-1} \\
& C_n^1+2 C_n^2+3 C_n^3+\cdots+n C_n^n=n 2^{n-1} \\
& C_m^r C_n^0+C_m^{r-1} C_n^1+\cdots+C_m^{n+1} C_n^r=C_{m+n}^r \\
& \left(C_n^0\right)^2+\left(C_n^1\right)^2+\left(C_n^2\right)^2+\cdots+\left(C_n^n\right)^2=C_{2 n}^n
\end{aligned}
$$

164．排列数与组合数的关系

$$
A_n^m=m!\cdot C_n^m
$$

165．单条件排列
以下各条的大前提是从 $n$ 个元素中取 $m$ 个元素的排列。
＂在位＂与＂不在位＂
①某（特）元必在某位有 $A_{n-1}^{m-1}$ 种；（2）某（特）元不在某位有 $A_n^m-A_{n-1}^{m-1}$（补集思想）$=A_{n-1}^1 A_{n-1}^{m-1}$（着眼位置）$=A_{n-1}^m+$ $A_{m-1}^1 A_{n-1}^{m-1}$（着眼元素）种。

紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：$k(k \leqslant m \leqslant n)$ 个元在固定位的排列有 $A_k^k A_{n-k}^{m-k}$ 种．
②浮动紧贴：$n$ 个元素的全排列把 $k$ 个元排在一起的排法有 $A_{n-k+1}^{n-k+1} A_k^k$ 种．注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有 $k 、 h$ 个 $(k \leqslant h+1)$ ，把它们合在一起来作全排列，$k$ 个的一组互不能挨近的所有排列数有 $A_h^h A_{h+1}^k$ 种。
两组元素各相同的插空
$m$ 个大球 $n$ 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当 $n>m+1$ 时，无解；当 $n \leqslant m+1$ 时，有 $\frac{A_{m+1}^n}{A_n^n}=C_{m+1}^n$ 种排法．
两组相同元素的排列：两组元素有 $m$ 个和 $n$ 个，各组元素分别相同的排列数为 $C_{m+n}^n$ ．

166．分配问题
（1）（平均分组有归属问题）将相异的 $m 、 n$ 个物件等分给 $m$ 个人，各得 $n$ 件，其分配方法数共有 $N=C_{m n}^n \cdot C_{m n-n}^n \cdot C_{m n-2 n}^n$ 。 $\cdots \cdot C_{2 n}^n \cdot C_n^n=\frac{(m n)!}{(n!)^m}$ ．
（2）（平均分组无归属问题）将相异的 $m \cdot n$ 个物体等分为无记号或无顺序的 $m$ 堆，其分配方法数共有 $N=\frac{C_{m n}^n \cdot C_{m n-n}^n \cdot C_{m n-2 n}^n \cdot \cdots \cdot C_{2 n}^n \cdot C_n^n}{m!}=\frac{(m n)!}{m!(n!)^m}$ ．
（3）（非平均分组有归属问题）将相异的 $P\left(P=n_1+n_2+\cdots+n_m\right)$ 个物体分给 $m$ 个人，物件必须被分完，分别得到 $n_1$ ， $n_2, \ldots, n_m$ 件，且 $n_1, n_2, \ldots, n_m$ 这 $m$ 个数彼此不相等，则其分配方法数共有 $N=C_p^{n_1} \cdot C_{p-n_1}^{n_2} \cdots C_{n_m}^{n_m} \cdot m!=\frac{p!m!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{m}!}$ ．
（4）（非完全平均分组有归属问题）将相异的 $P\left(P=n_1+n_2+\cdots+n_m\right)$ 个物体分给 $m$ 个人，物件必须被分完，分别得到 $n_1, n_2, \ldots, n_m$ 件，且 $n_1, n_2, \ldots, n_m$ 这 $m$ 个数中分别有 $a 、 b 、 c 、 \ldots$ 个相等，则其分配方法数有 $N=\frac{C_p^{n_1} \cdot C_{p-n_1}^{n_2} \cdots C_{n_m}^{n_m} \cdot m!}{a!b!c!\cdots}=$ $\frac{p!m!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{m}!(a!b!c!\ldots)}$.

（5）（非平均分组无归属问题）将相异的 $P\left(P=n_1+n_2+\cdots+n_m\right)$ 个物体分为任意的 $n_1, n_2, \ldots, n_m$ 件无记号的 $m$ 堆，且 $n_1, n_2, \ldots, n_m$ 这 $m$ 个数彼此不相等，则其分配方法数有 $N=\frac{p!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{m}!}$ ．
（6）（非完全平均分组无归属问题）将相异的 $P\left(P=n_1+n_2+\cdots+n_m\right)$ 个物体分为任意的 $n_1, n_2, \ldots, n_m$ 件无记号的 $m$堆，且 $n_1, n_2, \ldots, n_m$ 这 $m$ 个数中分别有 $a 、 b 、 c 、 \ldots$ 个相等，则其分配方法数有 $N=\frac{p!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{m}!(a!b!c!\ldots)}$ ．
（7）（限定分组有归属问题）将相异的 $p\left(p=n_1+n_2+\cdots+n_m\right)$ 个物体分给甲、乙、丙，$\ldots \ldots$ ．等 $m$ 个人，物体必须被分完，若指定甲得 $n_1$ 件，乙得 $n_2$ 件，丙得 $n_3$ 件，$\ldots$ 时，则无论 $n_1, n_2, \ldots, n_m$ 等 $m$ 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 $N=C_p^{n_1} \cdot C_{p-n_1}^{n_2} \ldots C_{n_m}^{n_m}=\frac{p!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{m}!}$.

167．＂错位问题＂及其推广
贝努利装错笺问题：信 $n$ 封信与 $n$ 个信封全部错位的组合数为

$$
f(n)=n!\left[\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\cdots+(-1)^n \frac{1}{n!}\right]
$$

推广：$n$ 个元素与 $n$ 个位置，其中至少有 $m$ 个元素错位的不同组合总数为

$$
\begin{aligned}
& f(n, m) \\
& =n!-C_m^1(n-1)!+C_m^2(n-2)!-C_m^3(n-3)!+C_m^4(n-4)!-\cdots+(-1)^p C_m^p(n-p)!+\cdots+(-1)^m C_m^m(n-m)! \\
& =n!\left[1-\frac{C_m^1}{A_n^1}+\frac{C_m^2}{A_n^2}-\frac{C_m^3}{A_n^2}+\frac{C_m^4}{A_n^4}-\cdots+(-1)^p \frac{C_m^p}{A_n^p}+\cdots+(-1)^m \frac{C_m^m}{A_n^m}\right]
\end{aligned}
$$

168．二项式定理

$$
(a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1} b+C_n^2 a^{n-2} b^2+\cdots+C_n^r a^{n-r} b^r+\cdots+C_n^n b^n
$$

二项展开式的通项公式：$T_{r+1}=C_n^r a^{n-r} b^r(r=0,1,2 \cdots, n)$ ．

## 统计与概率
169．等可能性事件的概率

$$
P(A)=\frac{m}{n}
$$

170．互斥事件 $A, B$ 分别发生的概率的和

$$
P(A+B)=P(A)+P(B)
$$

171．$n$ 个互斥事件分别发生的概率的和

$$
P\left(A_1+A_2+\cdots+A_n\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\ldots+P\left(A_n\right)
$$

172．独立事件 $A, B$ 同时发生的概率

$$
P(A \cdot B)=P(A) \cdot P(B)
$$

173．$n$ 个独立事件同时发生的概率

$$
P(A 1 \cdot A 2 \cdot \ldots \cdot A n)=P(A 1) \cdot P(A 2) \cdot \ldots \cdot P(A n)
$$

174．$n$ 次独立重复试验中某事件恰好发生 $k$ 次的概率

$$
P_n(k)=C_n^k P^k(1-P)^{n-k}
$$

175．离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）$P_{ i } \geqslant 0( i =1,2, \cdots) ;$
（2）$P_1+P_2+\cdots=1$ ．
176．数学期望

$$
E \xi=x_1 P_1+x_2 P_2+\cdots+x_n P_n+\cdots
$$

177．数学期望的性质
（1）$E(a \xi+b)=a E(\xi)+b$ ．
（2）若 $\xi \sim B(n, p)$ ，则 $E \xi=n p$ ．
（3）若 $\xi$ 服从几何分布，且 $P(\xi=k)=g(k, p)=q^{k-1} p$ ，则 $E \xi=\frac{1}{p}$ ．
178．方差

$$
D \xi=\left(x_1-E \xi\right)^2 \cdot p_1+\left(x_2-E \xi\right)^2 \cdot p_2+\cdots+\left(x_n-E \xi\right)^2 \cdot p_n+\cdots
$$

179．标准差

$$
\sigma \xi=\sqrt{D \xi}
$$

180．方差的性质
（1）$D(a \xi+b)=a^2 D \xi$ ；
（2）若 $\xi \sim B(n, p)$ ，则 $D \xi=n p(1-p)$ ．
（3）若 $\xi$ 服从几何分布，且 $P(\xi=k)=g(k, p)=q^{k-1} p$ ，则 $D \xi=\frac{q}{p^2}$ ．
181．方差与期望的关系

$$
D \xi=E \xi^2-(E \xi)^2
$$

182．正态分布密度函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} 6} e ^{-\frac{(x-\mu)^2}{26^2}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ，式中的实数 $\mu, \sigma(\sigma>0)$ 是参数，分别表示个体的平均数与标准差．

183．标准正态分布密度函数

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} 6} e^{-\frac{x^2}{2}}, x \in(-\infty,+\infty)
$$

184．对于 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，取值小于 $x$ 的概率

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