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复习五：立体几何

117．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行．
118．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行 ．
119．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直．
120．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直．
121．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直．
122．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直．
123．空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
（1）加法交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ ．
（2）加法结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ ．
（3）数乘分配律：$\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$ ．
124．平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量．
125．共线向量定理
对空间任意两个向量 $\vec{a} 、 \vec{b}(\vec{b} \neq \overrightarrow{0}), \vec{a} / / \vec{b} \Leftrightarrow$ 存在实数 $\lambda$ 使 $\vec{a}=\lambda \vec{b}$ ．
$P 、 A 、 B$ 三点共线 $\Leftrightarrow A P \| A B \Leftrightarrow \overrightarrow{A P}=t \overrightarrow{A B} \Leftrightarrow \overrightarrow{O P}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B}$ ．
$A B \| C D \Leftrightarrow \overrightarrow{A B} 、 \overrightarrow{C D}$ 共线且 $A B 、 C D$ 不共线 $\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}=t \overrightarrow{C D}$ 且 $A B 、 C D$ 不共线
126．共面向量定理
向量 $\vec{p}$ 与两个不共线的向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 共面的 $\Leftrightarrow$ 存在实数对 $x, y$ ，使 $\vec{p}=\vec{a} x+\vec{b} y$ ．

推论空间一点 $P$ 位于平面 $M A B$ 内的 $\Leftrightarrow$ 存在有序实数对 $x, y$, 使 $\overrightarrow{M P}=x \overrightarrow{M A}+y \overrightarrow{M B}$ ，或对空间任一定点 $O$ ，有序实数对 $x, y$ ，使 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O M}+x \overrightarrow{M A}+y \overrightarrow{M B}$ ．

127．对空间任一点 $O$ 和不共线的三点 $A 、 B 、 C$ ，满足 $\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}(x+y+z=k)$ ，则当 $k=1$ 时，对于空间任一点 $O$ ，总有 $P 、 A 、 B 、 C$ 四点共面；
当 $k \neq 1$ 时，
若 $O \in$ 平面 $A B C$ ，则 $P 、 A 、 B 、 C$ 四点共面；
若 $O \notin$ 平面 $A B C$ ，则 $P 、 A 、 B 、 C$ 四点不共面．
$A 、 B 、 C 、 D$ 四点共面
$\Leftrightarrow \overrightarrow{A D}$ 与 $\overrightarrow{A B} 、 \overrightarrow{A C}$ 共面
$\Leftrightarrow \overrightarrow{A D}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{O D}=(1-x-y) \overrightarrow{O A}+x \overrightarrow{O B}+y \overrightarrow{O C}(O \notin$ 平面 $A B C)$ ．

128．空间向量基本定理
若三个向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 不共面，那么对空间任一向量 $p$ ，存在一个唯一的有序实数组 $x, y, z$ ，使 $\vec{p}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$ ．
推论设 $O 、 A 、 B 、 C$ 是不共面的四点，则对空间任一点 $P$ ，都存在唯一的三个有序实数 $x, y, z$ ，使 $\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+$ $z \overrightarrow{O C}$ ．

129．射影公式
已知向量 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}$ 和轴 $l$ ， $\overrightarrow{ e }$ 是 $l$ 上与 $l$ 同方向的单位向量．作 $A$ 点在 $l$ 上的射影 $A^{\prime}$ ，作 $B$ 点在 $l$ 上的射影 $B^{\prime}$ ，则

$$
A^{\prime} B^{\prime}=|\overrightarrow{A B}| \cos \langle\vec{a}, \overrightarrow{e}\rangle=\vec{a} \cdot \overrightarrow{e}
$$

130．向量的直角坐标运算
设 $\vec{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right), \vec{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right)$ 则
（1）$\vec{a}+\vec{b}=\left(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3\right)$ ；
（2）$\vec{a}-\vec{b}=\left(a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3\right)$ ；
（3）$\lambda \vec{a}=\left(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3\right)(\lambda \in R)$ ；
（4）$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3$ ；

131．设 $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right)$ ，则

$$
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right)
$$

132．空间的线线平行或垂直
设 $\vec{a}=\left(x_1, y_1, z_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2, z_2\right)$ ，则

$$
\begin{aligned}
& \vec{a} / / \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}=\lambda \vec{b}(\vec{b} \neq \overrightarrow{0}) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x_1=\lambda x_2 \\
y_1=\lambda y_2 \\
z_1=\lambda z_2
\end{array}\right. \\
& \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \Leftrightarrow x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2=0
\end{aligned}
$$

133．夹角公式
设 $\vec{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right), \vec{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right)$ ，则

$$
\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}
$$

推论 $\left(a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3\right)^2 \leqslant\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2\right)$ ，此即三维柯西不等式．

134．四面体的对棱所成的角
四面体 $A B C D$ 中，$A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $\theta$ ，则

$$
\cos \theta=\frac{\left|\left(A B^2+C D^2\right)-\left(B C^2+D A^2\right)\right|}{2 A C \cdot B D} .
$$

135．异面直线所成角
$$
\cos \theta=|\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle|=\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=\frac{\left|x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2\right|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}\left(0^{\circ}<\theta \leqslant 90^{\circ}\right)
$$

（其中 $\theta$ 为异面直线 $a, b$ 所成角，$\vec{a}, \vec{b}$ 分别表示异面直线 $a, b$ 的方向向量）
136．直线 $A B$ 与平面所成角

$$
\sin \beta=|\cos \langle\overrightarrow{A B}, \vec{m}\rangle|=\left|\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \vec{m}}{|\overrightarrow{A B}||\vec{m}|}\right|
$$

（ $\vec{m}$ 为平面 $\alpha$ 的法向量）
137．若 $\triangle A B C$ 所在平面若 $\beta$ 与过若 $A B$ 的平面 $\alpha$ 成的角 $\theta$ ，另两边 $A C, B C$ 与平面 $\alpha$ 成的角分别是 $\theta_1 、 \theta_2, A 、 B$ 为 $\triangle A B C$ 的两个内角，则

$$
\sin ^2 \theta_1+\sin ^2 \theta_2=\left(\sin ^2 A+\sin ^2 B\right) \sin ^2 \theta
$$

特别地，当 $\angle A C B=90^{\circ}$ 时，有

$$
\sin ^2 \theta_1+\sin ^2 \theta_2=\sin ^2 \theta
$$

138．若 $\triangle A B C$ 所在平面若 $\beta$ 与过若 $A B$ 的平面 $\alpha$ 成的角 $\theta$ ，另两边 $A C, B C$ 与平面 $\alpha$ 成的角分别是 $\theta_1 、 \theta_2, A^{\prime} 、 B^{\prime}$ 为 $\triangle A B O$ 的两个内角，则

$$
\tan ^2 \theta_1+\tan ^2 \theta_2=\left(\sin ^2 A^{\prime}+\sin ^2 B^{\prime}\right) \tan ^2 \theta
$$

特别地，当 $\angle A O B=90^{\circ}$ 时，有

$$
\sin ^2 \theta_1+\sin ^2 \theta_2=\sin ^2 \theta
$$

139．二面角 $\alpha-l-\beta$ 的平面角
$\theta=\arccos \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}$ 或 $\pi-\arccos \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}(\vec{m}, \vec{n}$ 为平面 $\alpha, \beta$ 的法向量 $)$ ．
140．三余弦定理
设 $A C$ 是 $\alpha$ 内的任一条直线，且 $B C \perp A C$ ，垂足为 $C$ ，又设 $A O$ 与 $A B$ 所成的角为 $\theta_1, A B$ 与 $A C$ 所成的角为 $\theta_2, A O$ 与 $A C$ 所成的角为 $\theta$ ，则

$$
\cos \theta=\cos \theta_1 \cos \theta_2
$$

141．三射线定理
若夹在平面角为 $\phi$ 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 $\theta_1, \theta_2$ ，与二面角的棱所成的角是 $\theta$ ，则有

$$
\sin ^2 \phi \sin ^2 \theta=\sin ^2 \theta_1+\sin ^2 \theta_2-2 \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \phi
$$

$\left|\theta_1-\theta_2\right| \leqslant \phi \leqslant 180^{\circ}-\left(\theta_1+\theta_2\right)$（当且仅当 $\theta=90^{\circ}$ 时等号成立）．
三射线定理
如图，$P A 、 P B 、 P C$ 分别是从 $P$ 出发的三条射线，$\angle A P C 、 \angle B P C 、 \angle A P B$ 分别为 $\alpha 、 \beta 、 \theta$ ，则二面角 $A-P C-B$（记其大小为 $\varphi$ ）满足：

$$
\cos \theta=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \varphi
$$

推导见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2470)

![图片](/uploads/2025-06/9f6468.jpg)
 
 
 142．空间两点间的距离公式
若 $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right)$ ，则

$$
d_{A, B}=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}
$$

143．点 $Q$ 到直线 $l$ 距离

$$
h=\frac{1}{|\vec{a}|} \sqrt{(|\vec{a}||\vec{b}|)^2-(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}
$$

（点 $P$ 在直线 $l$ 上，直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a}=\overrightarrow{P A}$ ，向量 $\vec{b}=\overrightarrow{P Q}$ ）
144．异面直线间的距离

$$
d=\frac{|\overrightarrow{C D} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}
$$

（ $l_1, l_2$ 是两异面直线，其公垂向量为 $\vec{n}, C 、 D$ 分别是 $l_1, l_2$ 上任一点，$d$ 为 $l_1, l_2$ 间的距离）
145．点 $B$ 到平面 $\alpha$ 的距离

$$
d=\frac{|\overrightarrow{A B} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}
$$

（ $\vec{n}$ 为平面 $\alpha$ 的法向量，$A B$ 是经过面 $\alpha$ 的一条斜线，$A \in \alpha$ ）

146．异面直线上两点距离公式

$$
\begin{aligned}
& d=\sqrt{h^2+m^2+n^2 \mp 2 m n \cos \theta} \\
& d=\sqrt{h^2+m^2+n^2-2 m n \cos \left\langle\overrightarrow{E A^{\prime}}, \overrightarrow{A F}\right\rangle} \\
& d=\sqrt{h^2+m^2+n^2-2 m n \cos \phi}\left(\phi=E-A A^{\prime}-F\right)
\end{aligned}
$$

（两条异面直线 $a 、 b$ 所成的角为 $\theta$ ，其公垂线段 $A A^{\prime}$ 的长度为 $h$ ．在直线 $a 、 b$ 上分别取两点 $E 、 F, A^{\prime} E=m, A F=n, E F=$ d）．

147．三个向量和的平方公式

$$
\begin{aligned}
& (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2 \\
& =\vec{a}^2+\vec{b}^2+\vec{c}^2+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a} \\
& =\vec{a}^2+\vec{b}^2+\vec{c}^2+2|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle+2|\vec{b}| \cdot|\vec{c}| \cos \langle\vec{b}, \vec{c}\rangle+2|\vec{c}| \cdot|\vec{a}| \cos \langle\vec{c}, \vec{a}\rangle
\end{aligned}
$$

148．长度为 $l$ 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 $l_1 、 l_2 、 l_3$ ，夹角分别为 $\theta_1 、 \theta_2 、 \theta_3$ ，则有

$$
l^2=l_1^2+l_2^2+l_3^2 \Leftrightarrow \cos ^2 \theta_1+\cos ^2 \theta_2+\cos ^2 \theta_3=1 \Leftrightarrow \sin ^2 \theta_1+\sin ^2 \theta_2+\sin ^2 \theta_3=2 .
$$

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）．

149．面积射影定理

$$
S=\frac{S^{\prime}}{\cos \theta}
$$

（平面多边形及其射影的面积分别是 $S 、 S^{\prime}$ ，它们所在平面所成锐二面角的为 $\theta$ ）
150．斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是 $l$ ，侧面积和体积分别是 $S_{\text {斜校柱侧和 }} V_{\text {科校桂，}}$ ，它的直截面的周长和面积分别是 $c_1$ 和 $S_1$ ，则
（1）$S_{\text {斜枝柱侧 }}=c_1 l$ ．
（2）$V_{\text {除校杜 }}=S_1 l$ ．
151．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行．

152．棱雉的平行截面的性质
若棱雉被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱雉高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱雉与小棱雉的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱雉高的平方比．

153．欧拉定理（欧拉公式）（了解）
$V+F-E=2$（简单多面体的顶点数 $V$ 、棱数 $E$ 和面数 $F$ ）．
（1）$E=$ 各面多边形边数和的一半．特别地，若每个面的边数为 $n$ 的多边形，则面数 $F$ 与棱数 $E$ 的关系：$E=\frac{1}{2} n F$ ；
（2）若每个顶点引出的棱数为 $m$ ，则顶点数 $V$ 与棱数 $E$ 的关系：$E=\frac{1}{2} m V$ ．
154．球的半径是 $R$ ，则
（1）球的体积：$V=\frac{4}{3} \pi R^3$
（2）球的表面积：$S=4 \pi R^2$

155．球的组合体
（1）球与长方体的组合体：
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
（2）球与正方体的组合体：
正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
（3）球与正四面体的组合体：
棱长为 $a$ 的正四面体的内切球的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{12} a$ ，外接球的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{4} a$ ．
156．柱体、锥体的体积
$V_{\text {柱体 }}=\frac{1}{3} S h(S$ 是柱体的底面积、 $h$ 是柱体的高）．
$V_{\text {锥体 }}=\frac{1}{3} S h(S$ 是雉体的底面积、 $h$ 是雉体的高）．

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