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复习四：解析几何

87．斜率公式

$$
k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x_1 \neq x_2\right)
$$

$$
\left(P_1\left(x_1, y_1\right) 、 P_2\left(x_2, y_2\right)\right)
$$

88．直线的五种方程
（1）点斜式：$y-y_1=k\left(x-x_1\right)$（直线 $l$ 过点 $P_1\left(x_1, y_1\right)$ ，且斜率为 $k$ ）．
（2）斜截式：$y=k x+b$（ $b$ 为直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距）．
（3）两点式：$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\left(y_1 \neq y_2\right)\left(P_1\left(x_1, y_1\right) 、 P_2\left(x_2, y_2\right)\left(x_1 \neq x_2\right)\right)$ ．
（4）截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a 、 b$ 分别为直线的横、纵截距，$a 、 b \neq 0)$
（5）一般式：$A x+B y+C=0$（其中 $A 、 B$ 不同时为 0 ）．
89．两条直线的平行和垂直
（1）若 $l_1: y=k_1 x+b_1, l_2: y=k_2 x+b_2$
（1）$l_1 \| l_2 \Leftrightarrow k_1=k_2, b_1 \neq b_2$ ；
（2）$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow k_1 k_2=-1$ ．
（2）若 $l_1: A_1 x+B_1 y+C_1=0, l_2: A_2 x+B_2 y+C_2=0$ ，且 $A_1 、 A_2 、 B_1 、 B_2$ 都不为零，
（1）$l_1 \| l_2 \Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$ ；
（2）$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow A_1 A_2+B_1 B_2=0$ ；

90．夹角公式

$$
\begin{aligned}
& \text { (1) } \tan \alpha=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_2 k_1}\right| \text {. } \\
& \text { ( } l_1: y=k_1 x+b_1, l_2: y=k_2 x+b_2, k_1 k_2 \neq-1 \text { ) } \\
& \text { (2) } \tan \alpha=\left|\frac{A_1 B_2-A_2 B_1}{A_1 A_2+B_1 B_2}\right| \text {. } \\
& \text { ( } l_1: A_1 x+B_1 y+C_1=0, l_2: A_2 x+B_2 y+C_2=0, A_1 A_2+B_1 B_2 \neq 0 \text { ). }
\end{aligned}
$$

直线 $l_1 \perp l_2$ 时，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角是 $\frac{\pi}{2}$ ．
91．$l_1$ 到 $l_2$ 的角公式

$$
\begin{aligned}
& \text { (1) } \tan \alpha=\frac{k_2-k_1}{1+k_2 k_1} \\
& \left(l_1: y=k_1 x+b_1, l_2: y=k_2 x+b_2, k_1 k_2 \neq-1\right) \\
& (2) \tan \alpha=\frac{A_1 B_2-A_2 B_1}{A_1 A_2+B_1 B_2} \\
& \left(l_1: A_1 x+B_1 y+C_1=0, l_2: A_2 x+B_2 y+C_2=0, A_1 A_2+B_1 B_2 \neq 0\right)
\end{aligned}
$$

特别地，当直线 $l_1 \perp l_2$ 时，直线 $l_1$ 到 $l_2$ 的角是 $\frac{\pi}{2}$ ．
92．四种常用直线系方程
（1）定点直线系方程：
经过定点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的直线系方程为 $y-y_0=k\left(x-x_0\right)$（除直线 $\left.x=x_0\right)$ ，其中 $k$ 是待定的系数；经过定点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的直线系方程为

$$
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 \text { (其中 } A, B \text { 是待定的系数) }
$$

（2）共点直线系方程：
经过两直线 $l_1: A_1 x+B_1 y+C_1=0, l_2: A_2 x+B_2 y+C_2=0$ 的交点的直线系方程为
$\left(A_1 x+B_1 y+C_1\right)+\lambda\left(A_2 x+B_2 y+C_2\right)=0\left(\right.$ 除 $\left.l_2\right)(\lambda$ 是参变量 $)$
（3）平行直线系方程：
直线 $y=k x+b$ 中当斜率 $k$ 一定而 $b$ 变动时，表示平行直线系方程．与直线 $A x+B y+C=0$ 平行的直线系方程是

$$
A x+B y+\lambda=0(\lambda \neq 0)(\lambda \text { 是参变量 })
$$

（4）垂直直线系方程：
与直线 $A x+B y+C=0(A \neq 0, B \neq 0)$ 垂直的直线系方程是

$$
B x-A y+\lambda=0(\lambda \text { 是参变量 })
$$

93．点到直线的距离

$$
d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}
$$

（点 $P\left(x_0, y_0\right)$ ，直线 $l: A x+B y+C=0$ ）．

94．圆的四种方程
（1）圆的标准方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ ．
（2）圆的一般方程：$x^2+y^2+D x+E y+F=0\left(D^2+E^2-4 F>0\right)$ ．
（3）圆的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=a+r \cos \theta \\ y=b+r \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）．
（4）圆的直径式方程：$\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)+\left(y-y_1\right)\left(y-y_2\right)=0$（圆的直径的端点是 $A\left(x_1, y_1\right)$ 、 $B\left(x_2, y_2\right)$ ）．
95．圆系方程
（1）过点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 的圆系方程是

$$
\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)+\left(y-y_1\right)\left(y-y_2\right)+\lambda\left[\left(x-x_1\right)\left(y_1-y_2\right)-\left(y-y_1\right)\left(x_1-x_2\right)\right]=0
$$

$\Leftrightarrow\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)+\left(y-y_1\right)\left(y-y_2\right)+\lambda(a x+b y+c)=0$ ，其中 $a x+b y+c=0$ 是直线 $A B$ 的方程，$\lambda$ 是待定的系数．
（2）过直线 $l: A x+B y+C=0$ 与圆 $C: x^2+y^2+D x+E y+F=0$ 的交点的圆系方程是 $x^2+y^2+D x+E y+F+\lambda(A x+B y+C)=0, \lambda$ 是待定的系数．
（3）过圆 $C_1: x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1=0$ 与圆 $C_2: x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0$ 的交点的圆系方程是 $x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+$ $F_1+\lambda\left(x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2\right)=0, \lambda$ 是待定的系数．

96．点与圆的位置关系
点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 与圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 的位置关系有三种
若 $d=\sqrt{\left(a-x_0\right)^2+\left(b-y_0\right)^2}$ ，则
$d>r \Leftrightarrow$ 点 $P$ 在圆外；
$d=r \Leftrightarrow$ 点 $P$ 在圆上；
$d<r \Leftrightarrow$ 点 $P$ 在圆内．
97．直线与圆的位置关系
直线 $A x+B y+C=0$ 与圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 的位置关系有三种：
$d>r \Leftrightarrow$ 相离 $\Leftrightarrow \Delta<0$ ；
$d=r \Leftrightarrow$ 相切 $\Leftrightarrow \Delta=0$ ；
$d<r \Leftrightarrow$ 相交 $\Leftrightarrow \Delta>0$ ．
其中 $d=\frac{|A a+B b+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ ．
98．两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为 $O_1, O_2$ ，半径分别为 $r_1, r_2,\left|O_1 O_2\right|=d$
$d>r_1+r_2 \Leftrightarrow$ 外离 $\Leftrightarrow 4$ 条公切线；
$d=r_1+r_2 \Leftrightarrow$ 外切 $\Leftrightarrow 3$ 条公切线；
$\left|r_1-r_2\right|<d<r_1+r_2 \Leftrightarrow$ 相交 $\Leftrightarrow 2$ 条公切线；
$d=\left|r_1-r_2\right| \Leftrightarrow$ 内切 $\Leftrightarrow 1$ 条公切线；
$0<d<\left|r_1-r_2\right| \Leftrightarrow$ 内含 $\Leftrightarrow$ 无公切线．
99．圆的切线方程
（1）已知圆 $x^2+y^2+D x+E y+F=0$ ．

## 圆锥曲线
100．椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos \theta \\ y=b \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）．
101．椭圆 $\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 焦半径公式

$$
\left|P F_1\right|=e\left(x+\frac{a^2}{c}\right),\left|P F_2\right|=e\left(\frac{a^2}{c}-x\right)
$$

102．椭圆的的内外部
（1）点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的内部 $\Leftrightarrow \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}<1$ ．
（2）点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的外部 $\Leftrightarrow \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}>1$ ．
103．椭圆的切线方程
（1）椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上一点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程是：

$$
\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1
$$

（2）过椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 外一点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 所引两条切线的切点弦方程是：

$$
\frac{x_0 x}{a^2}+\frac{y_0 y}{b^2}=1
$$

（3）椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 与直线 $A x+B y+C=0$ 相切的条件是：

$$
A^2 a^2+B^2 b^2=c^2
$$

104．双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的焦半径公式

$$
\left|P F_1\right|=\left|e\left(x+\frac{a^2}{c}\right)\right|,\left|P F_2\right|=\left|e\left(\frac{a^2}{c}-x\right)\right|
$$

105．双曲线的内外部
（1）点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的内部 $\Leftrightarrow \frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}>1$ ．
（2）点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的外部 $\Leftrightarrow \frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}<1$ ．
106．双曲线的方程与渐近线方程的关系
（1）若双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \Rightarrow$ 渐近线方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0 \Leftrightarrow y= \pm \frac{b}{a} x$ ．
（2）若渐近线方程为 $y= \pm \frac{b}{a} x \Leftrightarrow \frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0 \Rightarrow$ 双曲线可设为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$ ．
（3）若双曲线与 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 有公共渐近线，可设为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda(\lambda>0$ ，焦点在 $x$ 轴上，$\lambda<0$ ，焦点在 $y$ 轴上）．
107．双曲线的切线方程
（1）双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 上一点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程是：

$$
\frac{x_0 x}{a^2}-\frac{y_0 y}{b^2}=1
$$

（2）过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 外一点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 所引两条切线的切点弦方程是：

$$
\frac{x_0 x}{a^2}-\frac{y_0 y}{b^2}=1
$$

（3）双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 与直线 $A x+B y+C=0$ 相切的条件是：

$$
A^2 a^2-B^2 b^2=c^2
$$

108．抛物线 $y^2=2 p x$ 的焦半径公式
抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 焦半径 $|C F|=x_0+\frac{p}{2}$ ．
过焦点弦长 $|C D|=x_1+\frac{p}{2}+x_2+\frac{p}{2}=x_1+x_2+p$ ．
109．抛物线 $y^2=2 p x$ 上的动点可设为 $P\left(\frac{y_0^2}{2 p}, y_0\right)$ 或 $P\left(2 p t^2, 2 p t\right)$ 或 $P\left(x_0, y_0\right)$ ，其中 $y_0^2=2 p x_0$ ．
110．二次函数 $y=a x^2+b x+c=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2+\frac{4 a c-b^2}{4 a}(a \neq 0)$ 的图象是抛物线：
（1）顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2 a}, \frac{4 a c-b^2}{4 a}\right)$ ；
（2）焦点的坐标为 $\left(-\frac{b}{2 a}, \frac{4 a c-b^2+1}{4 a}\right)$ ；
（3）准线方程是 $y=\frac{4 a c-b^2-1}{4 a}$ ．

111．抛物线的切线方程
（1）抛物线 $y^2=2 p x$ 上一点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程是：

$$
y_0 y=p\left(x+x_0\right)
$$

（2）过抛物线 $y^2=2 p x$ 外一点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 所引两条切线的切点弦方程是：

$$
y_0 y=p\left(x+x_0\right)
$$

（3）抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 与直线 $A x+B y+C=0$ 相切的条件是：

$$
p B^2=2 A C
$$

112．两个常见的曲线系方程
（1）过曲线 $f_1(x, y)=0, f_2(x, y)=0$ 的交点的曲线系方程是

$$
f_1(x, y)+\lambda f_2(x, y)=0(\lambda \text { 为参数 })
$$

（2）共焦点的有心圆锥曲线系方程

$$
\frac{x^2}{a^2-k}+\frac{y^2}{b^2-k}=1
$$

其中 $k<\max \left\{a^2, b^2\right\}$ ．
当 $k>\min \left\{a^2, b^2\right\}$ 时，表示椭圆；
当 $\min \left\{a^2, b^2\right\}<k<\max \left\{a^2, b^2\right\}$ 时，表示双曲线．

113．直线与圆雉曲线相交的弦长公式

$$
\begin{aligned}
& |A B|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2} \text { 或 } \\
& |A B|=\sqrt{\left(1+k^2\right)\left(x_2-x_1\right)^2}=\left|x_1-x_2\right| \sqrt{1+\tan ^2 \alpha}=\left|y_1-y_2\right| \sqrt{1+\cot ^2 \alpha}
\end{aligned}
$$

（弦端点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ ，由方程 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+b \\ F(x, y)=0\end{array}\right.$ 消去 $y$ 得到 $a x^2+b x+c=0, \Delta>0, \alpha$ 为直线 $A B$ 的倾斜角，$k$ 为直线的斜率）。
114．圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线 $F(x, y)=0$ 关于点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 成中心对称的曲线是

$$
F\left(2 x_0-x, 2 y_0-y\right)=0
$$

（2）曲线 $F(x, y)=0$ 关于直线 $A x+B y+C=0$ 成轴对称的曲线是

$$
F\left(x-\frac{2 A(A x+B y+C)}{A^2+B^2}, y-\frac{2 B(A x+B y+C)}{A^2+B^2}\right)=0
$$

115．＂四线＂一方程

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