最后更新: 2025-06-03 07:02 查看: 232 次纠错评论(0) 课件开VIP

复习三：平面向量与不等式

## 平面向量
65．实数与向量的积的运算律设 $\lambda, \mu$ 为实数，那么
（1）结合律：$\lambda(\mu \vec{a})=(\lambda \mu) \vec{a}$ ；
（2）第一分配律：$(\lambda+\mu) \vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{a}$ ；
（3）第二分配律：$\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$ ．
66．向量的数量积的运算律：
（1）$\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}$（交换律）；
（2）$(\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b}=\lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})=\lambda \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot(\lambda \vec{b})$ ；
（3）$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}=\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c}$ ．

67．平面向量基本定理
若 $\overrightarrow{e_1} 、 \overrightarrow{e_2}$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 $\lambda_1 、 \lambda_2$ ，使得 $\vec{a}=$ $\lambda_1 \overrightarrow{ e _1}+\lambda_2 \overrightarrow{ e _2}$ ．
注：此时，不共线的向量 $\overrightarrow{ e _1} 、 \overrightarrow{ e _2}$ 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
68．向量平行的坐标表示
设 $\vec{a}=\left(x_1, y_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$ ，且 $\vec{b} \neq \overrightarrow{0}$ ，则

$$
\vec{a} / / \vec{b} \Leftrightarrow x_1 y_2-x_2 y_1=0
$$

69．常见的向量等式与不等式：
$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的数量积（或内积）$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$ ．

$$
\begin{aligned}
& (\vec{a} \pm \vec{b})^2=|\vec{a} \pm \vec{b}|^2=\vec{a}^2 \pm 2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^2=\vec{a}^2 \pm 2 \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}^2 \\
& \vec{a}^2-\vec{b}^2=(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2 \\
& (\vec{a}+\vec{b})^2+(\vec{a}-\vec{b})^2=2\left(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2\right) \\
& \vec{a}^2+\vec{b}^2=0 \Leftrightarrow \vec{a}=\vec{b}=\overrightarrow{0}
\end{aligned}
$$

$\| \vec{a}|-|\vec{b}|| \leqslant|\vec{a}+\vec{b}| \leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|$ ，当且仅当 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向共线时右边等号成立，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向共线时左边等号成立．
$-|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \leqslant \vec{a} \cdot \vec{b} \leqslant|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| ;$
极化恒等式： $4 \vec{a} \cdot \vec{b}=(\vec{a}+\vec{b})^2-(\vec{a}-\vec{b})^2$ ；
70．数量积 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的几何意义
数量积 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 等于 $\vec{a}$ 的长度 $|a|$ 与 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的方向上的投影 $|\vec{b}| \cos \theta$ 的乘积．

71．平面向量的坐标运算
（1）设 $\vec{a}=\left(x_1, y_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$ ，则 $\vec{a}+\vec{b}=\left(x_1+x_2, y_1+y_2\right)$ ．
（2）设 $\vec{a}=\left(x_1, y_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$ ，则 $\vec{a}-\vec{b}=\left(x_1-x_2, y_1-y_2\right)$ ．
（3）设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ ，则 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right)$ ．
（4）设 $\vec{a}=(x, y), \lambda \in R$ ，则 $\lambda \vec{a}=(\lambda x, \lambda y)$ ．
（5）设 $\vec{a}=\left(x_1, y_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(x_1 x_2+y_1 y_2\right)$ ．
72．两向量的夹角公式

$$
\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \times|\vec{b}|}=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \times \sqrt{x_2^2+y_2^2}}
$$

$$
\left(\vec{a}=\left(x_1, y_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2\right)\right)
$$

73．平面两点间的距离公式
$$
d_{A, B}=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}
$$

$$
\left(A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)\right) .
$$

74．向量的平行与垂直
设 $\vec{a}=\left(x_1, y_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$ ，且 $\vec{a} \neq \overrightarrow{0}$ ，则
（1）$\vec{a} / / \vec{b} \Leftrightarrow \vec{b}=\lambda \vec{a} \Leftrightarrow x_1 y_2-x_2 y_1=0$ ．
（2）$\vec{a} \perp \vec{b}(\vec{a} \neq \overrightarrow{0}) \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \Leftrightarrow x_1 x_2+y_1 y_2=0$ ．
75．线段的定比分公式
设 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right), P(x, y)$ 是线段 $P_1 P_2$ 的分点，$\lambda$ 是实数，且 $\overrightarrow{P_1 P}=\lambda \overrightarrow{P P_2}$ ，则

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda} \\
y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}
\end{array}\right. \\
& \Leftrightarrow \overrightarrow{O P}=\frac{\overrightarrow{O P_1}+\lambda \overrightarrow{O P_2}}{1+\lambda} \\
& \Leftrightarrow \overrightarrow{O P}=t \overrightarrow{O P_1}+(1-t) \overrightarrow{O P_2}\left(t=\frac{1}{1+\lambda}\right)
\end{aligned}
$$

76．三角形的重心坐标公式
$\triangle A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A\left(x_1, y_1\right) 、 B\left(x_2, y_2\right) 、 C\left(x_3, y_3\right)$ ，则 $\triangle A B C$ 的重心的坐标是 $G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ ．
77．点的平移公式

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x ^ { \prime } = x + h } \\
{ y ^ { \prime } = y + k }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=x^{\prime}-h \\
y=y^{\prime}-k
\end{array} \Leftrightarrow \overrightarrow{O P^{\prime}}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P P^{\prime}}\right.\right.
$$

注：图形 $F$ 上的任意一点 $P(x, y)$ 在平移后图形 $F^{\prime}$ 上的对应点为 $P^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ ，且 $\overrightarrow{P P^{\prime}}$ 的坐标为 $(h, k)$ ．
78．＂按向量平移＂的几个结论
（1）点 $P(x, y)$ 按向量 $\vec{a}=(h, k)$ 平移后得到点 $P^{\prime}(x+h, y+k)$ ．
（2）函数 $y=f(x)$ 的图象 $C$ 按向量 $\vec{a}=(h, k)$ 平移后得到图象 $C^{\prime}$ ，则 $C^{\prime}$ 的函数解析式为 $y=f(x-h)+k$ ．
（3）图象 $C^{\prime}$ 按向量 $\vec{a}=(h, k)$ 平移后得到图象 $C$ ，若 $C$ 的解析式 $y=f(x)$ ，则 $C^{\prime}$ 的函数解析式为 $y=f(x+h)-k$ ．
（4）曲线 $C: f(x, y)=0$ 按向量 $\vec{a}=(h, k)$ 平移后得到图象 $C^{\prime}$ ，则 $C^{\prime}$ 的方程为 $f(x-h, y-k)=0$ ．
（5）向量 $\vec{m}=(x, y)$ 按向量 $\vec{a}=(h, k)$ 平移后得到的向量仍然为 $\vec{m}=(x, y)$ ．

79．三角形五＂心＂向量形式
设 $O$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面上一点，角 $A, B, C$ 所对边长分别为 $a, b, c$ ，则
（1）$O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心 $\Leftrightarrow \overrightarrow{O A}^2=\overrightarrow{O B}^2=\overrightarrow{O C}^2$ ．
（2）$O$ 为 $\triangle A B C$ 的重心 $\Leftrightarrow \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$ ．
（3）$O$ 为 $\triangle A B C$ 的垂心 $\Leftrightarrow \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{O A}$ ．
（4）$O$ 为 $\triangle A B C$ 的内心 $\Leftrightarrow a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B}+c \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$ ．
（5）$O$ 为 $\triangle A B C$ 的 $\angle A$ 的旁心 $\Leftrightarrow a \overrightarrow{O A}=b \overrightarrow{O B}+c \overrightarrow{O C}$ ．
在三角形中，＂五心＂是一组特殊的点，在近几年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查向量等知识点，而且考查考生分析问题、解决问题的能力．
$O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心：
三角形三条边的中垂线的交点叫外心、外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．
$O$ 为 $\triangle A B C$ 的重心：三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶点的距离与到对边中线距离之比为 $2: 1$ ．
$O$ 为 $\triangle A B C$ 的垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．
$O$ 为 $\triangle A B C$ 的内心：三角形三边内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．

## 不等式
80．常用不等式：
（1）$a, b \in R \Rightarrow a^2+b^2 \geqslant 2 a b$（当且仅当 $a=b$ 时取＂$=$＂号）．
（2）基本不等式：
$a, b \in R^{+} \Rightarrow \frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{a b}$（当且仅当 $a=b$ 时取＂$=$＂号）。
（3）基本不等式（三元形式）（了解）

$$
a^3+b^3+c^3 \geqslant 3 a b c(a>0, b>0, c>0)
$$

（4）柯西不等式
$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geqslant(a c+b d)^2, a, b, c, d \in R$ ．当且仅当 $a d=b c$ 时，等号成立．
（5）绝对值不等式

$$
|a|-|b| \leqslant|a+b| \leqslant|a|+|b|
$$

（6）平均值不等式
当 $a>0$ 且 $b>0$ 时，$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{a b} \leqslant \frac{a+b}{2} \leqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ ，当且仅当 $a=b$ 时同时取等号．

81．极值定理
已知 $x, y$ 都是正数，则有
（1）若积 $x y$ 是定值 $p$ ，则当 $x=y$ 时和 $x+y$ 有最小值 $2 \sqrt{p}$ ；
（2）若和 $x+y$ 是定值 $s$ ，则当 $x=y$ 时积 $x y$ 有最大值 $\frac{1}{4} s^2$ ．
推广已知 $x, y \in R$ ，则有 $(x+y)^2=(x-y)^2+2 x y$
（1）若积 $x y$ 是定值，则当 $|x-y|$ 最大时，$|x+y|$ 最大；当 $|x-y|$ 最小时，$|x+y|$ 最小．
（2）若和 $|x+y|$ 是定值，则当 $|x-y|$ 最大时，$|x y|$ 最小；当 $|x-y|$ 最小时，$|x y|$ 最大．
82．一元二次不等式 $a x^2+b x+c>0$（或 $\left.<0\right)\left(a \neq 0, \Delta=b^2-4 a c>0\right)$ ，若 $a$ 与 $a x^2+b x+c$ 同号，则其解集在两根之外；若 $a$与 $a x^2+b x+c$ 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．

$$
\begin{aligned}
& x_1<x<x_2 \Leftrightarrow\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)<0\left(x_1<x_2\right) ; \\
& x<x_1, \text { 或 } x>x_2 \Leftrightarrow\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)>0\left(x_1<x_2\right) .
\end{aligned}
$$

83．含有绝对值的不等式
当 $a>0$ 时，有

$$
\begin{aligned}
& |x|<a \Leftrightarrow x^2<a^2 \Leftrightarrow-a<x<a . \\
& |x|>a \Leftrightarrow x^2>a^2 \Leftrightarrow x>a \text { 或 } x<-a .
\end{aligned}
$$

84．无理不等式

$$
\begin{aligned}
& \text { (1) } \sqrt{f(x)}>\sqrt{g(x)} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
f(x) \geqslant 0 \\
g(x) \geqslant 0 \\
f(x)>g(x)
\end{array} .\right. \\
& \text { (2) } \sqrt{f(x)}>g(x) \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } 
{ f ( x ) \geqslant 0 } \\
{ g ( x ) \geqslant 0 } \\
{ f ( x ) > [ g ( x ) ] ^ { 2 } }
\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}
f(x) \geqslant 0 \\
g(x)<0
\end{array} .\right.\right. \\
& \text { (3) } \sqrt{f(x)}<g(x) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
f(x) \geqslant 0 \\
g(x)>0 \\
f(x)<[g(x)]^2
\end{array} .\right.
\end{aligned}
$$

85．指数不等式与对数不等式
（1）当 $a>1$ 时，

$$
a^{f(x)}>a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)>g(x)
$$

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