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复习二：数列与三角函数

## 数列
40．数列的同项公式与前 $n$ 项的和的关系

$$
a_n= \begin{cases}S_1, & n=1 \\ S_n-S_{n-1}, & n \geqslant 2\end{cases}
$$

（数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ ）．
41．等差数列的通项公式全部资料电子版在公众号：
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$$
a_n=a_1+(n-1) d=d n+a_1-d=A n+B
$$

其前 $n$ 项和公式为：

$$
S_n=\frac{n\left(a_1+a_n\right)}{2}=n a_1+\frac{n(n-1)}{2} d=\frac{d}{2} n^2+\left(a_1-\frac{1}{2} d\right) n=A n^2+B n
$$

42．等比数列的通项公式

$$
a_n=a_1 q^{n-1}=\frac{a_1}{q} \cdot q^n
$$

其前 $n$ 项的和公式为：

$$
S_n= \begin{cases}\frac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}, & q \neq 1 \\ n a_1, & q=1\end{cases}
$$

或

$$
S_n= \begin{cases}\frac{a_1-a_n q}{1-q}, & q \neq 1 \\ n a_1, & q=1\end{cases}
$$

43．等比差数列 $\left\{a_n\right\}: a_{n+1}=q a_n+d, a_1=b(q \neq 0)$ 的通项公式为

$$
a_n= \begin{cases}\frac{b q^n+(d-b) q^{n-1}-d}{q-1}, & q \neq 1 \\ b+(n-1) d, & q=1\end{cases}
$$

其前 $n$ 项和公式为：

$$
S_n= \begin{cases}\left(b-\frac{d}{1-q}\right) \frac{1-q^n}{q-1}+\frac{d}{1-q} n, & q \neq 1 \\ n b+n(n-1) d, & q=1\end{cases}
$$

44．平均增长率的问题
若原来产值的基础数为 $N$ ，平均增长率为 $p$ ，则对于时间 $x$ 的总产值 $y$ ，有

$$
y=N(1+p)^x
$$

45．分期付款（按揭贷款）
每次还款 $x=\frac{a b(1+b)^n}{(1+b)^n-1}$ 元（贷款 $a$ 元，$n$ 次还清，每期利率为 $b$ ）．

## 三角函数
46．常见三角不等式
（1）若 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\sin x<x<\tan x$ ．
（2）若 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $1<\sin x+\cos x \leqslant \sqrt{2}$ ．
（3）$|\sin x|+|\cos x| \geqslant 1$ ．
47．同角三角函数的基本关系式

$$
\begin{aligned}
& \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1, \\
& \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \\
& \tan \theta \cdot \cot \theta=1 .
\end{aligned}
$$

48．诱导公式
 ![图片](/uploads/2025-06/6c76df.jpg)

记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=129)

50．和角与差角公式

$$
\begin{aligned}
& \sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ; \\
& \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ; \\
& \tan (\alpha \pm \beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} . \\
& \sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)=\sin ^2 \alpha-\sin ^2 \beta \text { (平方正弦公式); } \\
& \cos (\alpha+\beta) \cos (\alpha-\beta)=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \beta .
\end{aligned}
$$

51．辅助角公式

$$
\text { (1) } a \sin \alpha+b \cos \alpha=\sqrt{a^2+b^2} \sin (\alpha+\phi)(a \neq 0)
$$

（辅助角 $\phi$ 所在象限由点 $(a, b)$ 的象限决定， $\tan \phi=\frac{b}{a}$ ）．

$$
\text { (2) } a \sin \alpha+b \cos \alpha=\sqrt{a^2+b^2} \cos (\alpha-\phi)(b \neq 0)
$$

（辅助角 $\phi$ 所在象限由点 $(a, b)$ 的象限决定， $\tan \phi=\frac{a}{b}$ ）．
52．二倍角公式

$$
\begin{aligned}
& \sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha \\
& \cos 2 \alpha=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha=2 \cos ^2 \alpha-1=1-2 \sin ^2 \alpha \\
& \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}
\end{aligned}
$$

53．半角公式：

$$
\begin{aligned}
& \sin \frac{\alpha}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} \\
& \cos \frac{\alpha}{2}= \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} \\
& \tan \frac{\alpha}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}
\end{aligned}
$$

54．升幂公式：

$$
\begin{aligned}
& 1+\cos \alpha=2 \cos ^2 \frac{\alpha}{2} \\
& 1-\cos \alpha=2 \sin ^2 \frac{\alpha}{2}
\end{aligned}
$$

55．降幂公式：

$$
\begin{aligned}
\sin ^2 \alpha & =\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \\
\cos ^2 \alpha & =\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}
\end{aligned}
$$

56．三倍角公式（了解）

$$
\begin{aligned}
& \sin 3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^3 \theta=4 \sin \theta \sin \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \sin \left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) \\
& \cos 3 \theta=4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta=4 \cos \theta \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+\theta\right)
\end{aligned}
$$

$$
\tan 3 \theta=\frac{3 \tan \theta-\tan ^3 \theta}{1-3 \tan ^2 \theta}=\tan \theta \tan \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \tan \left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) .
$$

57．三角函数的单调性
（1）$y=\sin x$ 的单调递增区间是 $\left[2 k \pi-\frac{\pi}{2}, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right](k \in Z)$ ，
单调递减区间是 $\left[2 k \pi+\frac{\pi}{2}, 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}\right](k \in Z)$ ；
（2）$y=\cos x$ 的单调递增区间是 $[2 k \pi-\pi, 2 k \pi](k \in Z)$ ，
单调递减区间是 $[2 k \pi, 2 k \pi+\pi](k \in Z)$ ；
（3）$y=\tan x$ 的单调递增区间是 $\left(k \pi-\frac{\pi}{2}, k \pi+\frac{\pi}{2}\right)(k \in Z)$ ，没有单调递减区间．

58．三角函数的奇偶性
（1）$y=\sin x$ 是奇函数，函数图像关于 $(0,0)$ 对称；
（2）$y=\cos x$ 是偶函数，函数图像关于 $y$ 轴对称；
（3）$y=\tan x$ 是奇函数，函数图像关于 $(0,0)$ 对称；
（4）若 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 为偶函数，则有 $\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)$ ；
（5）若 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$ 为奇函数，则有 $\varphi=k \pi(k \in Z)$ ；
（6）若 $y=A \cos (\omega x+\varphi)$ 为偶函数，则有 $\varphi=k \pi(k \in Z)$ ；
（7）若 $y=A \cos (\omega x+\varphi)$ 为奇函数，则有 $\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)$ ；
（8）若 $y=A \tan (\omega x+\varphi)$ 为奇函数，则有 
$\varphi=k \pi(k \in Z)$ ；

59．三角函数的周期性
（1）函数 $y=\sin (\omega x+\phi), x \in R$ 及函数 $y=\cos (\omega x+\phi), x \in R$ $(A, \omega, \phi$ 为常数，且 $A \neq 0, \omega>0)$ 的周期 $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ ；
（2）函数 $y=\tan (\omega x+\phi), x \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z$
$(A, \omega, \phi$ 为常数，且 $A \neq 0, \omega>0)$ 的周期 $T=\frac{\pi}{\omega}$ ．

60．函数 $y=A \sin (\omega x+\phi)+B$
函数 $y=A \sin (\omega x+\phi)+B$（其中 $A>0, \omega>0$ ）的最大值是 $A+B$ ，最小值是 $B-A$ ，周期是 $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ ，频率是 $f=\frac{\omega}{2 \pi}$ ，相位是 $\omega x+\phi$ ，初相是 $\phi$ ；
其图象的对称轴是直线 $\omega x+\phi=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in Z)$ ，凡是该图象与直线 $y=B$ 的交点都是该图象的对称中心．
61．正弦定理

$$
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R(R \text { 为 } \triangle A B C \text { 的外接圆的半径 }) .
$$

62．余弦定理

$$
\begin{aligned}
& a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A \\
& b^2=c^2+a^2-2 c a \cos B \\
& c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C \\
& \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} \\
& \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a} \\
& \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}
\end{aligned}
$$

63．面积定理
（1）$S=\frac{1}{2} a h_a=\frac{1}{2} b h_b=\frac{1}{2} c h_c\left(h_a 、 h_b 、 h_c\right.$ 分别表示 $a 、 b 、 c$ 边上的高）．

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