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复习一：集合与函数

## 集合与逻辑
**1．元素与集合的关系**

$$
\begin{aligned}
& x \in A \Leftrightarrow x \notin \complement_U A ; \\
& x \in \complement_U A \Leftrightarrow x \notin A .
\end{aligned}
$$

**2．德摩根公式**

$$
\begin{aligned}
& \complement_U(A \cap B)=\complement_U A \cup \complement_U B ; \\
& \complement_U(A \cup B)=\complement_U A \cap \complement_U B .
\end{aligned}
$$

**3．包含关系**

$$
\begin{aligned}
& A \cap B=A \\
& \Leftrightarrow A \cup B=B \\
& \Leftrightarrow A \subseteq B \\
& \Leftrightarrow \complement_U B \subseteq \complement_U A \\
& \Leftrightarrow A \cap \complement_U B=\varnothing \\
& \Leftrightarrow \complement_U A \cup B=R
\end{aligned}
$$

**4．容斥原理**

$$
\operatorname{card}(A \cup B)=\operatorname{card} A+\operatorname{cardB}-\operatorname{card}(A \cap B)
$$

5．集合 $\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$ 的
子集个数有 $2^n$ 个；
真子集有 $2^n-1$ 个；
非空子集有 $2^n-1$ 个；
非空真子集有 $2^n-2$ 个。

**6．二次函数的解析式的三种形式**
（1）一般式：$f(x)=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ ；
（2）顶点式：$f(x)=a(x-h)^2+k(a \neq 0)$ ；（顶点为 $\left.(h, k)\right)$
（3）零点式：$f(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)(a \neq 0)$ ．

**7．解不等式 $N<f(x)<M(N<M)$ 常有以下转化形式**

$$
\begin{aligned}
& N<f(x)<M \\
& \Leftrightarrow[f(x)-M][f(x)-N]<0 \\
& \Leftrightarrow\left|f(x)-\frac{M+N}{2}\right|<\frac{M-N}{2} \\
& \Leftrightarrow \frac{f(x)-N}{M-f(x)}>0 \\
& \Leftrightarrow \frac{M-f(x)}{f(x)-N}>0 \\
& \Leftrightarrow \frac{1}{f(x)-N}>\frac{1}{M-N} \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
N<f(x) \\
f(x) < M
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

**8．方程 $f(x)=0$ 在 $\left(k_1, k_2\right)$ 上有且只有一个实根**，与 $f\left(k_1\right) f\left(k_2\right)<0$ 不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件，特别地，方程 $a x^2+b x+c=0(a \neq 0)$ 有且只有一个实根在 $\left(k_1, k_2\right)$ 内，等价于

$f\left(k_1\right) f\left(k_2\right)<0$ ，或 $\left\{\begin{array}{l}\Delta=0 \\ k_1<-\frac{b}{2 a}<k_2\end{array}\right.$, 或 $f\left(k_1\right)=0$ 且 $k_1<-\frac{b}{2 a}<\frac{k_1+k_2}{2}$ ，或 $f\left(k_2\right)=0$ 且 $\frac{k_1+k_2}{2}<-\frac{b}{2 a}<k_2$ ．

**9．闭区间上的二次函数的最值**
二次函数 $f(x)=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ 在闭区间 $[p, q]$ 上的最值只能在 $x=-\frac{b}{2 a}$ 处及区间的两端点处取得，具体如下：全部资料电子版在公众号：逆袭墙
（1）当 $a>0$ 时，若 $x=-\frac{b}{2 a} \in[p, q]$ ，则 $f(x)_{\text {min }}=f\left(-\frac{b}{2 a}\right), f(x)_{\text {max }}=\max \{f(p), f(q)\}$ ；
若 $x=-\frac{b}{2 a} \notin[p, q], f(x)_{\text {max }}=\max \{f(p), f(q)\}, f(x)_{\text {min }}=\min \{f(p), f(q)\}$ ．
（2）当 $a<0$ 时，若 $x=-\frac{b}{2 a} \in[p, q]$ ，则 $f(x)_{\text {max }}=f\left(-\frac{b}{2 a}\right), f(x)_{\text {min }}=\min \{f(p), f(q)\}$ ；
若 $x=-\frac{b}{2 a} \notin[p, q]$ ，则 $f(x)_{\text {max }}=\max \{f(p), f(q)\}, f(x)_{\text {min }}=\min \{f(p), f(q)\}$ ．

**10．一元二次方程的实根分布**
若 $f(m) f(n)<0$ ，则方程 $f(x)=0$ 在区间 $(m, n)$ 内至少有一个实根．
设 $f(x)=x^2+p x+q$ ，则
（1）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(m,+\infty)$ 内有根的充要条件为 $f(m)=0$ 或 $\left\{\begin{array}{l}p^2-4 q \geqslant 0 \\ -\frac{p}{2}>m\end{array}\right.$ ；
（2）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(m, n)$ 内有根的充要条件为 $f(m) f(n)<0$ 或 $\left\{\begin{array}{l}f(m)>0 \\ f(n)>0 \\ p^2-4 q \geqslant 0 \\ m<-\frac{p}{2}<n\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}f(m)=0 \\ f(n)>0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}f(n)=0 \\ f(m)>0\end{array}\right.$ ；
（3）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(-\infty, n)$ 内有根的充要条件为 $f(m)<0$ 或 $\left\{\begin{array}{l}p^2-4 q \geqslant 0 \\ -\frac{p}{2}<m\end{array}\right.$ ．

**11 真值表**

![图片](/uploads/2025-06/12bc97.jpg)
 
 **12 常见结论的否定形式**
  ![图片](/uploads/2025-06/c749e2.jpg)
  
 
**13．四种命题的相互关系**
原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；

## 函数
**15．函数的单调性**
（1）设 $x_1, x_2 \in[a, b], x_1 \neq x_2$ 那么 $\left(x_1-x_2\right)\left[f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right]>0 \Leftrightarrow \frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}>0 \Leftrightarrow f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是单调递增函数： $\left(x_1-x_2\right)\left[f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right]<0 \Leftrightarrow \frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}<0 \Leftrightarrow f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是单调递减函数．

（2）函数单调性的充分条件：
设函数 $y=f(x)$ 在某个区间内可导，
若 $f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在该区间内为单调递增函数；
若 $f^{\prime}(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在该区间内为单调递减函数．
（3）函数单调性的必要条件： 设函数 $y=f(x)$ 在某个区间内可导，
若 $f(x)$ 在该区间内为单调递增函数，则在该区间内 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ；
若 $f(x)$ 在该区间内为单调递减函数，则在该区间内 $f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ．

**16．若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是减函数**，则在公共定义域内，和函数 $f(x)+g(x)$ 也是减函数；若函数 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 是增函数．

**17．奇偶函数的图象特征**
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 $y$ 轴对称；
反过来，若一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
若一个函数的图象关于 $y$ 轴对称，那么这个函数是偶函数．

**18．若函数 $y=f(x)$ 是偶函数**，则 $f(x+a)=f(-x-a)$ ；
若函数 $y=f(x+a)$ 是偶函数，则 $f(x+a)=f(-x+a)$ ．

**19．高考常考的奇函数**
（1）幂函数及其复合型
①$y=a x+\frac{b}{x}(a b \neq 0)$

$$
y=x-\frac{1}{x} ; y=x+\frac{1}{x}
$$

②$y=x^\alpha,\left(\alpha\right.$ 为奇数 ）考察较多的有 $y=x, y=x^3$

（2）三角函数及其复合型
③$y=\sin x$
④$y=\tan x$
⑤$y=\sin x+\tan x$

（3）指数函数及其复合型
⑥$y= e ^x- e ^{-x}$
⑦$y=\frac{ e ^x+ e ^{-x}}{ e ^x- e ^{-x}}$ 或 $y=\frac{ e ^x- e ^{-x}}{ e ^x+ e ^{-x}}$ 或 $y=\left( e ^x- e ^{-x}\right)\left( e ^x+ e ^{-x}\right)$
⑧$y=\frac{1- e ^x}{1+ e ^x}$ 或 $y=\frac{ e ^x-1}{1+ e ^x}$ 或 $y=\frac{1+ e ^x}{1- e ^x}$$y=\frac{a^x-1}{a^x+1}$
（4）对数函数及其复合型

$$
\begin{aligned}
y & =\lg \left(\sqrt{1+x^2}-x\right) \text { 或 } y=\lg \left(\sqrt{1+x^2}+x\right) \\
y & =\ln \left(\sqrt{1+4 x^2}-2 x\right) \text { 或 } y=\ln \left(\sqrt{1+4 x^2}+2 x\right) \\
y & =\ln \left(\sqrt{1+9 x^2}-3 x\right) \text { 或 } y=\ln \left(\sqrt{1+9 x^2}+3 x\right) \\
y & =\log _a\left(\sqrt{1+b^2 x^2}+b x\right) \text { 或 } \log _a\left(\sqrt{1+b^2 x^2}-b x\right)
\end{aligned}
$$

（5）抽象函数型 $y=f(x)-f(-x)$
（6）奇 $=$ 奇 $\pm$ 奇
（7）奇 $=$ 奇 $\times$ 偶

**20．高考常考的偶函数**
①$y=x^a, ~\left(\alpha\right.$ 为偶数）考察较多的有 $y=x^2$
②$y=\cos x$
③$y= e ^x+ e ^{-x}$
④$y=\log _a\left(b^x+b^{-x}\right)$
$y=\ln \left( e ^{2 x}+1\right)-x=\ln \left( e ^{2 x}+1\right)-\ln e ^x=\ln \left( e ^x+ e ^{-x}\right)$
⑤$y=f(x)+f(-x)$
⑦$y=\lg (1-x)(1+x)$
⑦$y=f(|x|)$ ，例如 $y= e ^{|x|}$
⑧已知 $f(x)$ 为奇函数，$g(x)$ 为偶函数，则 $y=f(g(x))$ 为偶函数，例如 $y=\left(x^2\right)^3$

⑨$y=\mid$ 奇函数 $\mid$ ，例如 $y=|x|$
（1）偶 $=$ 偶 $\pm$ 偶 
（2）偶 $=$ 奇 $\times$ 奇
（3）偶 $=$ 偶 $\times$ 偶

**21．若函数 $F(x)=f(x)+a$**， 且函数 $f(x)$ 为奇函数，则 $F(x)+f(-x)=2 a$ ．

**22．对于函数 $y=f(x)(x \in R)$** ，若 $f(x+a)=f(b-x)$ 恒成立，则函数 $f(x)$ 的对称轴是函数 $x=\frac{a+b}{2}$ ；若两个函数 $y=f(x+a)$ 与 $y=f(b-x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称．若 $f(x)=-f(-x+a)$ ，则函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{a}{2}, 0\right)$ 对称；若 $f(x)=-f(x+a)$ ，则函数 $y=f(x)$ 为周期为 $2 a$ 的周期函数．

**23．多项式函数 $P(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_0$ 的奇偶性**
多项式函数 $P(x)$ 是奇函数 $\Leftrightarrow P(x)$ 的偶次项（即奇数项）的系数全为零．
多项式函数 $P(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow P(x)$ 的奇次项（即偶数项）的系数全为零．

**24．函数 $y=f(x)$ 的图象的对称性**
（1）函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=a$ 对称

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow f(a+x)=f(a-x) \\
& \Leftrightarrow f(2 a-x)=f(x)
\end{aligned}
$$

（2）函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称

$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow f(a+m x)=f(b-m x) \\
& \Leftrightarrow f(a+b-m x)=f(m x) .
\end{aligned}
$$

**25．两个函数图象的对称性**
（1）函数 $y=f(x)$ 与函数 $y=f(-x)$ 的图象关于直线 $x=0$（即 $y$ 轴）对称．
（2）函数 $y=f(m x-a)$ 与函数 $y=f(b-m x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{a+b}{2 m}$ 对称．
（3）函数 $y=f(x)$ 和 $y=f^{-1}(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称．

**26．若将函数 $y=f(x)$ 的图象先右移** $a$ 再上移 $b$ 个单位，得到函数 $y=f(x-a)+b$ 的图像
若将曲线 $f(x, y)=0$ 的图象先右移 $a$ 再上移 $b$ 个单位，得到曲线 $f(x-a, y-b x)=0$ 的图象．
口诀：上加下减，左加右减

**27．互为反函数的两个函数的关系**

$$
f(a)=b \Leftrightarrow f^{-1}(b)=a
$$

**28．若函数 $y=f(k x+b)$ 存在反函数**，则其反函数为 $y=\frac{1}{k}\left[f^{-1}(x)-b\right]$ ，并不是 $y=\left[f^{-1}(k x+b)\right]$ ，而函数 $y=\left[f^{-1}(k x+b)\right]$是 $y=\frac{1}{k}[f(x)-b]$ 的反函数．

**29．几个常见的函数**
（1）正比例函数 $f(x)=c x, f(x+y)=f(x)+f(y), f(1)=c$ ．
（2）指数函数 $f(x)=a^x, f(x+y)=f(x) f(y), f(1)=a \neq 0$ ．
（3）对数函数 $f(x)=\log _a x, f(x y)=f(x)+f(y), f(a)=1(a>0, a \neq 1)$ ．
（4）幂函数 $f(x)=x^\alpha, f(x y)=f(x) f(y), f^{\prime}(1)=\alpha$ ．
（5）余弦函数 $f(x)=\cos x$ ，正弦函数 $g(x)=\sin x$ ， $f(x-y)=f(x) f(y)+g(x) g(y)$ ，全部资料电子版在公众号：逆袭墙 $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$,

$$
g(x-y)=g(x) f(y)-f(x) g(y), f(0)=1, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}=1 .
$$

**30．幂函数**
（1）幂函数的定义
如果一个函数，底数是自变量 $x$ ，指数是常量 $\alpha$ ，即

$$
y=x^a,
$$

这样的函数称为幂函数．如 $y=x, y=x^{-1}, y=x^2, y=x^5, y=x^{-4}$ 等都是幂函数．
（2）常见幂函数的图像与性质

![图片](/uploads/2025-06/0cd59c.jpg)
 
 
 
**31．几个函数方程的周期（约定 $a>0$ ）**
（1）若 $f(x)=f(x+a)$ ，则 $f(x)$ 的周期 $T=a$ ；
（2）$f(x)+f(x+a)=0$ ，
或 $f(x+a)=\frac{1}{f(x)}(f(x) \neq 0)$ ，或 $f(x+a)=-\frac{1}{f(x)}(f(x) \neq 0)$ ，
或 $\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f^2(x)}=f(x+a),(f(x) \in[0,1])$ ，则 $f(x)$ 的周期 $T=2 a$
（3）$f(x)=1-\frac{1}{f(x+a)}(f(x) \neq 0)$ ，则 $f(x)$ 的周期 $T=3 a$ ；

（4）$f\left(x_1+x_2\right)=\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{1-f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)}$ 且 $f(a)=1\left(f\left(x_1\right) \cdot f\left(x_2\right) \neq 1,0<\left|x_1-x_2\right|<2 a\right)$ ，则 $f(x)$ 的周期 $T=4 a$ ；
（5）$f(x)+f(x+a)+f(x+2 a) f(x+3 a)+f(x+4 a)=f(x) f(x+a) f(x+2 a) f(x+3 a) f(x+4 a)$ ，则 $f(x)$ 的周期 $T=5 a$ ；
（6）$f(x+a)=f(x)-f(x+a)$ ，则 $f(x)$ 的周期 $T=6 a$

**32．分数指数幂**
（1）$a^{\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\left(a>0, m, n \in N^*\right.$ ，且 $\left.n>1\right)$ ．
（2）$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\left(a>0, m, n \in N^*\right.$ ，且 $\left.n>1\right)$ ．

**33．根式的性质**
（1）$(\sqrt[n]{a})^n=a$ ．
（2）当 $n$ 为奇数时，$\sqrt[n]{a^n}=a$ ；
当 $n$ 为偶数时，$\sqrt[n]{a^n}=|a|= \begin{cases}a, & a \geqslant 0 \\ -a, & a<0\end{cases}$

**34．有理指数幂的运算性质**
（1）$a^r \cdot a^s=a^{r+s}(a>0, r, s \in Q)$ ．
（2）$\left(a^r\right)^s=a^{r s}(a>0, r, s \in Q)$ ．
（3）$(a b)^r=a^r b^r(a>0, b>0, r \in Q)$ ．
注：若 $a>0, p$ 是一个无理数，则 $a^p$ 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用．
指数式与对数式的互化式
$$
\log _a N=b \Leftrightarrow a^b=N
$$

$(a>0, a \neq 1, N>0)$.

**35．对数的换底公式**

$$
\log _a N=\frac{\log _m N}{\log _m a}
$$

$(a>0$ ，且 $a \neq 1, m>0$ ，且 $m \neq 1, N>0)$ ．
推论 $\log _{a^m} b^n=\frac{n}{m} \log _a b(a>0$ ，且 $a>1, m, n>0$ ，且 $m \neq 1, n \neq 1, N>0)$ ．

**36．对数的四则运算法则**
若 $a>0, a \neq 1, M>0, N>0$ ，则
（1） $\log _a(M N)=\log _a M+\log _a N$ ；
（2） $\log _a \frac{M}{N}=\log _a M-\log _a N$ ；
（3） $\log _a M^n=n \log _a M(n \in R)$ ．

**37．设函数** $f(x)=\log _m\left(a x^2+b x+c\right)(a \neq 0)$ ，记 $\Delta=b^2-4 a c$ ．
若 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，则 $a>0$ ，且 $\Delta<0$ ；
若 $f(x)$ 的值域为 $R$ ，则 $a>0$ ，且 $\Delta \geqslant 0$ ．对于 $a=0$ 的情形，需要单独检验．

**38．单变量恒成立**、能成立问题的最值等价条件：
（1）$\forall x \in A$ ，使得：$f(x) \geqslant a$ ，则：$f(x)_{\text {min }} \geqslant a$ ；
（2）$\forall x \in A$ ，使得：$f(x) \leqslant a$ ，则：$f(x)_{\text {max }} \leqslant a$ ；
（3）$\exists x \in A$ ，使得：$f(x) \geqslant a$ ，则：$f(x)_{\text {max }} \geqslant a$ ；
（4）$\exists x \in A$ ，使得：$f(x) \leqslant a$ ，则：$f(x)_{\text {min }} \geqslant a$ ；

**39．双变量恒成立、能成立问题的最值等价条件：**
（1）$\forall x_1 \in A, \forall x_2 \in B$ ，使得：$f\left(x_1\right) \geqslant g\left(x_2\right)$ ，则：$f(x)_{\text {min }} \geqslant g(x)_{\text {max }}$ ；
（2）$\forall x_1 \in A, \exists x_2 \in B$ ，使得：$f\left(x_1\right) \geqslant g\left(x_2\right)$ ，则：$f(x)_{\text {min }} \geqslant g(x)_{\text {min }}$ ；
（3）$\exists x_1 \in A, \forall x_2 \in B$ ，使得：$f\left(x_1\right) \geqslant g\left(x_2\right)$ ，则：$f(x)_{\text {max }} \geqslant g(x)_{\text {max }}$ ；

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