微分的几何意义

日期: 2022-12-28 08:10 查看: 85 次

在曲线 $y=f(x)$ 上取相邻的两点 $M_1(x, y)$ 和 $M_2(x+\Delta x, y+\Delta y)$ ，过点 $M_1$ 作曲线的切线 $M_1 T$ ，设 $M_1 T$ 的倾角为 $\alpha$ ，则 $M_1 T$ 的斜率为 $\tan \alpha=f^{\prime}(x)$. 从图2-13可知

$$
\begin{gathered}
M_1 N=\Delta x, N M_2=\Delta y, \\
N T=M_1 N \cdot \tan \alpha=f^{\prime}(x) \Delta x=\mathrm{d} y .
\end{gathered}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212282b4394f.png)

因此，当 $\Delta y$ 是曲线对应于点 $x$ 的函数增量时， $\mathrm{d} y$ 即是过点 $M_1(x, y)$ 的切线的纵坐标增量。图中线段 是 $T M_2$ 与$\Delta y$之差，是比 $y$ 更高阶的无穷小 $\Delta x$

由此可见，对于可微函数 $y=f(x)$ 而言，当 $\Delta y$ 是曲线 $y=f(x)$ 上的 点的纵坐标的增量时 $d y$ 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量.
当 $|\Delta x| $ 很小时 ,         $ |\Delta y-\mathrm{d} y| $  比  $  |\Delta x| $ 小得多.
因此在点 $M_1$ 的邻近，我们可用切线段来近似代替曲线段.

在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进 行计算，既费力又费时. 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近 似公式来代替.
如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，且 (1) $f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ ， (2) $|\Delta x|$ 很小，则

$$
\Delta y \approx \mathrm{d} y=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x
$$

即若记 $x=x_0+\Delta x$ 则有

$$
f(x) \approx f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
$$

即在 $x_0$ 附近可用 $x$ 的线性函数 $f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$ 来近似表达函数 $f(x)$

例8 利用微分计算 $\sin 30^{\circ} 30^{\prime}$ 的近似值.
解 $30^{\circ} 30^{\prime}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{360} ，$ 取 $f(x)=\sin x ， x_0=\frac{\pi}{6} ， \Delta x=\frac{\pi}{360}$ ，
因此

$$
\sin 30^{\circ} 30^{\prime} \approx \sin \frac{\pi}{6}+\cos \frac{\pi}{6} \cdot \frac{\pi}{360}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\pi}{360} \approx 0.5076 .
$$

在工程中常用的几种近似公式有
(一般取 $x_0=0 ， \Delta x=x ，|\Delta x|$ 很小 $\left.f(x) \approx f(0)+f^{\prime}(0) x\right)$
(1) $\sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n}$;
(2) $\sin x \approx x$;
(3) $\tan x \approx x$;
(4) $\mathrm{e}^x \approx 1+x$;
(5) $\ln (1+x) \approx x$.

例9 计算 $\sqrt[6]{65}$ 的近似值.
解

$$
\sqrt[6]{65}=\sqrt[6]{1+64}=2 \sqrt[6]{1+\frac{1}{64}} \approx 2\left(1+\frac{1}{6} \times \frac{1}{64}\right) \approx 2.0052 .

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