最后更新: 2024-09-21 20:02 查看: 303 次纠错评论(0) 课件开VIP

希尔伯特空间

在数学里，希尔伯特空间（英语：Hilbert space）即完备的内积空间，也就是一个带有内积的完备矢量空间。内积的构造推广了欧几里得空间的距离和角的概念；完备则确保了其上所有的柯西序列会收敛到此空间里的一点，从而微积分中的许多概念都可以推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间为基于任意正交坐标系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。另外希尔伯特空间也是量子力学的重要数学基础之一。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为矢量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以表示为一个复希尔伯特空间，其中的矢量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学表述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）

傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基底函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基底中的元素或其倍数的和。

希尔伯特空间可以用来研究振动的弦的谐波。
  ![图片](/uploads/2024-09/da737b.svg){width=300px}
 
 
 振动的弦可以被建模为希尔伯特空间中的一个点。将振动的弦分解成不同的振动点，在平面上投影给出坐标轴中。
  ![Standing_waves_on_a_string.gif](/uploads/2024-09/b3ecbe.gif)
 
 
 ## 通俗解释
 参考下图:元素放在一起组成了集合，集合排在一起组成了空间，如果空间满足八大性质(交换律、结合律等)则被定义为线性空间。空间里元素的距离称为度量空间。我们需要一个尺子作为度量的基准，这个尺子被称为范数，含有范数的空间称为线性赋范空间，具备完备后称为巴拿赫空间。
  ![图片](/uploads/2024-09/ba6554.jpg)
 
 ### 一、空间
把多个元素放在一起就构成了集合，如 $\left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\}$ 。但是集合是松散，我们还需要定义各个元素之间的"关系"或者说"结构"，加上这层"关系"和"结构"之后，就构成了一个空间 
 
### 二、度量空间 
如果想把集合中任意的两个元素建立"关系"，首先想到的可能就是去描述它们之间的"距离"。定义了距离的空间称为度量空间。距离的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $d(x, y) \geq 0$
- 非退化性: $d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y$
- 对称性: $d(x, y)=d(y, x)$
- 三角不等式+: $d(x, y)+d(y, z) \geq d(x, z)$

因为定义了距离，因此在度量空间中有了长度的概念。 
 
###  三、线性空间  
给定一个域 $F$ 和一个空间 $V$ ，首先我们对空间中的元素定义两个二元运算 （定义运算相当于给集合中的元素添加"关系"和"结构") :
- 加法: 对于任意的 $x, y \in V, x+y$ 也属于 $V$ 且唯一 (加法封闭)
- 数乘：对于任意的 $c \in F, x \in V, c x$ 也属于 $V$ 且唯一 (乘法封闭)

如果定义出来的两个二元运算满足以下八条性质 ${ }^{[2]}$ ，那么这个空间称之为一个线性空间（或向量空间) :
- 加法结合律 
- 加法交换律  
- 加法的零元
- 加法的逆元 
- 数乘的结合律:
- 数乘的单位元:
- 分配率一:
- 分配率二:

![图片](/uploads/2024-09/12d028.jpg)
 线性空间的必须满足的八大性质
 
 
 ### 四、线性赋范空间 
定义了范数的线性空间称为线性赋范空间。范数的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $\|x\| \geq 0$
- 非退化性： $\|x\|=0 \Leftrightarrow x=0$
-齐次性+: $|a x \|=| a|\cdot||x| \mid$
- 三角不等式： $\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$
范数可以理解为空间中一个元素到零元的距离。因此，我们很容易根据范数的定义诱导出距离的定  ，如 $d(x, y)=\|x-y\|$ 。因此通常我们认为赋范空间也是一种度量空间。

值得注意的是，在范数的定义过程中，非退化性要求该空间内一定有一个零元，齐次性要求对乘法封闭，三角不等式要求对加法封闭。因此，范数必须定义在线性空间内  ，一个赋范空间一定是线性的，称为线性赋范空间。

### 五、内积空间 
定义了内积的线性空间称为内积空间。内积的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $\langle x, x\rangle \geq 0$

・非退化性： $\langle x, x\rangle=0 \Leftrightarrow x=0$
- 共轭对称性 ${ }^{+}:\langle x, y\rangle=\overline{\langle y, x\rangle}$
- 第一变元线性: $\langle a x+b y, z\rangle=a\langle x, z\rangle+b\langle y, z\rangle$
- 第二变元共轭线性: $\langle z, a x+b y\rangle=\bar{a}\langle z, x\rangle+\bar{b}\langle z, y\rangle$

关于距离、范数和内积的总结如下图 
 ![图片](/uploads/2024-09/ab4d6d.jpg)
 上图：距离、范数和内积
 
 事实上，定义了内积以后也很容易诱导出范数的定义，如 $\|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle}$ 。因此，通常我们认为内积空间也是一种赋范空间，同时也是一种度量空间。

定义了内积和范数，就可以定义线性空间中两个向量的夹角，即 angle $(x, y)=\frac{\langle x, y\rangle}{\|x\| \cdot\|y\|}$ 。因此，在内积空间中，我们有了长度和角度的概念。

### 六、希尔伯特空间和完备性
希尔伯特空间，即完备的内积空间。那么什么是完备性 (completeness) 呢? 这里需要介绍一下收敛列和柯西列

收敛列: 设 $(X, d)$ 为度量空间， $\left\{x_n\right\}$ 为 $X$ 中的数列，若存在 $x \in X$ 使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_n, x\right)=0$ ，则 $\left\{x_n\right\}$ 在 $X$ 中收敛， $\left\{x_n\right\}$ 称为收玫列， $x$ 称为 $\left\{x_n\right\}$ 的极限。

简而言之，如果一个度量空间中的数列存在极限，且这个极限也在这个空间内，那么这个数列就是一个收敛列。举例，如 $X=(0,1)$ ，那么数列 $\left\{x_n \left\lvert\, x_n=\frac{1}{n}\right.\right\}$ 就不是一个空间 $X$ 的收敛列，因为它的极限 0 不在空间 $X$ 内。

柯西列：设 $(X, d)$ 为度量空间， $\left\{x_n\right\}$ 为 $X$ 中的数列，
$\forall \epsilon>0, \exists N \geq 1$, s.t. $\forall m, n \geq N, d\left(x_m, x_n\right)<\epsilon$ ，则称它为柯西列。
把一个数列从大到小排列，如果前一项减去后一项的差越来越小并最终趋近于零，那么这个数列就是一个柯西列。收敛列一定是一个柯西列，但是柯西列不一定是一个收敛列。如在 $X=(0,1)$ 空间中的数列 $\left\{x_n \left\lvert\, x_n=\frac{1}{n}\right.\right\}$ ，它是一个柯西列，但不是一个收敛列。

完备性：设 $(X, d)$ 为度量空间，如果 $X$ 中的任意柯西列都是收敛列，则 $(X, d)$ 为完备度量空间。

因此，一个完备的度量空间一定是一个闭集。

### 七、巴拿赫空间  
巴拿赫空间，即完备的赋范空间。

### 八、欧几里得空间
有限维实内积空间即称为欧几里得空间，我们生活的空间可看成一个三维的欧几里得空间 $R^3$ ，中学数学中的平面直角坐标系可看作一个二维的欧几里得空间 $R^2$ 。
希尔伯特空间是有限维欧几里得空间的一个推广，即不再局限于有限维和实数。
 
 ## 欧几里得空间
希尔伯特空间最熟悉的例子之一是欧几里德向量空间由三维的组成向量，由表示 $\mathbf{R}^3$ ，并配备了点积。点积取两个向量 ${x}$ 和 ${y}$ ，并产生一个实数 ${x} \cdot {y}$ 。如果 ${x}$ 和 ${y}$ 表现在笛卡儿坐标，则点积定义为

$$
\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
y_1 \\
y \\
y_3
\end{array}\right)=x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3
$$

点积满足以下性质  
1. 它是对称的在 ${x}$ 和 ${y}: {x} \cdot {y}={y} \cdot \mathbf{x}$.
2. 它是线性的在其第一个论点中: $\left(a {x}_1+b {x}_2\right) \cdot {y}=a\left({x}_1 \cdot {y}\right)+b\left({x}_2 \cdot {y}\right)$ 对于任何标量 $a$ ， $b$ 、和向量 ${x}_1$ ， ${x}_2$ ，以及 ${y}$ 。
3. 它是正定的:对于所有矢量 ${x}, {x} \cdot {x} \geq 0$ ，具有平等性惟一可能是 ${x}={0}$ 。

像点积一样满足这三个性质的向量对的运算称为（实数）内积。A向量空间装备着这样一种内在的产品被称为(真实的)内积空间。每个有限维内积空间也是一个希尔伯特空间。[2] 将点积与欧几里德几何联系起来的点积的基本特征是，它与长度(或标准)的向量，表示为 $\|{x}\|$ ，和到角度 $\theta$ 两个向量之间 ${x}$ 和 ${y}$ 通过该公式

$$
{x} \cdot {y}=\|{x}\|\|{y}\| \cos \theta
$$

![图片](/uploads/2024-09/3f2400.jpg){width=300px}
完整性意味着，如果一个粒子沿着断裂的路径(蓝色)移动有限的总距离，那么这个粒子有一个定义明确的路径(橙色)。

## 希尔伯特空间定义  
若在复（或实）内积空间 $H$ 取值的柯西序列，都收敛于 $H$ 内的某个矢量，那 $H$ 就被称为是希尔伯特空间，也就是说

希尔伯特空间的定义 $-H$ 是个复（或实）内积空间，若其上的矢量序列 $\left\{v_i \in H\right\}_{i \in \mathbb{N}}$ 满足（注意 $d(v, w):=\|v-w\|=\sqrt{\langle v-w, v-w\rangle}$ )
"对所有的正实数 $\epsilon>0$ ，存在正整数 $n \in \mathbb{N}$ 使所有的正整数 $i, j \in \mathbb{N}$ ，只要有 $i, j>n$ 就有 $d\left(v_i, v_j\right)<\epsilon$时，就存在矢量 $v \in H$ ，使得
"对所有的正实数 $\epsilon>0$ ，存在正整数 $n \in \mathbb{N}$ 使所有的正整数 $i, \in \mathbb{N}$ ，只要有 $i>n$ 就有 $d\left(v_i, v\right)<\epsilon$ "这时称 $H$ 就被称为复 (或实) 希尔伯特空间 (Hilbert space)。

### 序列空间 
更一般的希尔伯特空间都是无穷维的，假设 $B$ 是一个任意集合，可以定义其上的 $\ell^2$ 序列空间，记为

$$
\ell^2(B)=\left\{x:\left.B \rightarrow \mathbb{C}\left|\sum_{b \in B}\right| x(b)\right|^2<\infty\right\}
$$

此空间在定义如下内积后，成为一个希尔伯特空间:

$$
\langle x, y\rangle=\sum_{b \in B} \overline{x(b)} y(b)
$$

其中 $x$ 和 $y$ 是 $\ell^2(B)$ 中的任意元素。在这个定义中， $B$ 并非一定要是可数的，在 $B$ 不可数之情形下， $\ell^2(B)$ 不是可分 (separable) 的。在下面更具体的例子中，所有的希尔伯特空间在选定适当的 $B$ 的情况下，都可以表示成为 $\ell^2(B)$ 的一个同构空间。特别地，当 $B=(N)$ 的时候，可以将其简单记为 $\ell^2$ 。

### 欧几里得空间 
$\mathbb{C}^n$ 及其上的内积

$$
\langle x, y\rangle=\sum_{k=1}^n \overline{x_k} y_k
$$

构成了一个复希尔伯特空间（其中短横线表示一个复数的复共轭。），因为 $\mathbb{C}^n$ 本身就是定义在域 $\left(\mathbb{C}^n,+, \times\right)$ 上的 $n$ 维矢量空间，但有限维内积空间必完备，故 $\mathbb{C}^n$ 是个复希尔伯特空间。

### 勒贝格空间 
勒贝格空间 ( 这里指 $L^2(X)$ 空间) 是指定义在测度空间 $(X, \mathcal{M}, \mu)$ 上的函数空间，其中 $X$ 代表函数的定义域， $\mathcal{M}$ 的元素是 $X$ 上的子集族，为一个 $\sigma$ 代数，一般把 $\mathcal{M}$ 称作可测空间(measurable space)，而 $\mu$ 是 $\mathcal{M}$ 上的测度。

更仔细的说， $L^2(X, \mu)$ (简写做 $L^2(X)$ ) 表示 $X$ 上所有平方可积（square-integrable）的复数值的可测函数的集合。平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。要注意的是在 $L^2(X)$ 空间里，对于几乎处处（almost everywhere）相同的函数，也就是说如果两函数只在一个测度为 0 的集合上不相等，我们把这两函数当做在 $L^2(X)$ 中相同的元素。

此时两个函数 $f$ 和 $g$ 的内积定义为

$$
\langle f, g\rangle=\int_X \overline{f(t)} g(t) d \mu(t)
$$

- 因为 $f, g \in L^2(X)$ ， 所以这内积的定义没有问题。

但需要证明的是:
- 此空间在此内积下是完备的。

这个证明可以在相关的书籍中找到，与此例相关的内容可以参看关于 $L^p$ 空间的著作。

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