最后更新: 2025-01-21 12:41 查看: 103 次纠错评论(0) 课件开VIP

环与域

定义10．12 设 $< R ,+, \cdot>$ 是代数系统，+ 和 $\cdot$ 是二元运算．如果满足以下条件：
（1）$<R,+>$ 构成交换群
（2）$<R, \cdot>$ 构成半群
（3）$\cdot$ 运算关于 + 运算适合分配律
则称 $< R ,+, \cdot>$ 是一个环．
通常称 + 运算为环中的加法，•运算为环中的乘法．
环中加法单位元记作 0，乘法单位元（如果存在）记作1．对任何元素 $x$ ，称 $x$ 的加法逆元为负元，记作 $- x$ ．若 $x$ 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作 $x ^{-1}$ 。

例15
（1）整数集，有理数集，实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环 Z，有理数环 $Q$ ，实数环 $R$和复数环C．
（2）$n(n \geq 2)$ 阶实矩阵的集合 $M_n(R)$ 关于矩阵的加法和乘法构成环，称为 $n$ 阶实矩阵环．
（3）集合的幂集 $P ( B )$ 关于集合的对称差运算和交运算构成环．
（4）设 $Z_n=\{0,1, \ldots, n-1\}$ ，$\oplus$ 和 $\otimes$ 分别表示模 $n$ 的加法和乘法，则 $\left\langle Z _n, \oplus, \otimes>\right.$ 构成环，称为模 $n$ 的整数环．

定理10．16 设 $<R,+, \cdot>$ 是环，则
（1）$\forall a \in R, a 0=0 a=0$
（2）$\forall a, b \in R,(-a) b=a(-b)=-a b$
（3）$\forall a, b, c \in R, a(b-c)=a b-a c, \quad(b-c) a=b a-c a$
（4）$\forall a_1, a_2, \ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_m \in R(n, m \geq 2)$

$$
\left(\sum_{i=1}^n a _i\right)\left(\sum_{j=1}^m b _j\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a _i b _j
$$

证（1）$\forall a \in R$ 有 $a 0=a(0+0)=a 0+a 0$
由环中加法的消去律得 $a 0=0$ ．同理可证 $0 a = 0$ ．
（2）$\forall a, b \in R$ ，有

$$
\begin{aligned}
(-a) b+a b & =(-a+a) b=0 b=0 \\
a b+(-a) b & =(a+(-a)) b=0 b=0
\end{aligned}
$$

$(-a) b$ 是 $a b$ 的负元．由负元惟一性 $(-a) b=-a b$ ，同理 $a(-b)=-a b_3$

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