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离散数学
第五章 图论
平面图的特征
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2025-01-22 09:32
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平面图的特征
平面图的特征 找出一个图是平面图的充分必要条件的研究曾经持续了几十年，直到 1930 年库拉托斯基（Kuratowski）给出了平面图的一个简洁的特征。下面给出库拉托斯基定理，但由于它的证明过程比较长，这里就不给出。 给定图 $G$ 的一个剖分是对 $G$ 实行有限次下述过程而得到的图：删去它的一条边 $\{u, v\}$ 后添加一个新点 $w$ 以及新的边 $\{u, w\}$ 和 $\{w, v\}$ 。也就是说，在 $G$ 的边上插入有限个点便得到 $G$的一个剖分。 定理 9.3 （库拉托斯基定理）图 $G$ 是平面图当且仅当它的任何子图都不是 $K_5$ 和 $K_{3,3}$ 的剖分。 库拉托斯基定理虽然很漂亮，但是在具体判定一个图是不是平面图时，这个定理很难起作用。因此以后仍有许多这方面的研究工作。下面介绍平面图的另一个特征，即它有对偶图。
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