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柯西命题Cauchy

## 2.2.4  柯西命题Cauchy
我们称呼 $0 \cdot \infty , 0^{\infty},\infty^0 $ 和 $\infty-\infty$ 等类型的极限为**不定式**， 在求数列极限的问题中，主要困难是如何计算各种类型的不定式．
不定式 $0 \cdot \infty$ 和 $\frac{0}{0}$ 容易转化为 $\frac{\infty}{\infty}$ ，而不定式 $\infty-\infty$ 则从

$$
\infty-\infty=\frac{1}{\frac{1}{\infty}}-\frac{1}{\frac{1}{\infty}}
$$

可以看出通分之后就变成 $\frac{0}{0}$ ，因此如何处理 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的不定式就成为一个重要问题．下面介绍的 Cauchy 命题和 Stolz  定理就是这方面的有力工具，而且可以计算比 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的不定式更广一点的极限问题。

具体来说，Cauchy 命题和 Stolz 定理都是用于计算下列分式类型的极限，即

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{a_n}
$$

其中分母为正无穷大量或负无穷大量（并满足其他附加条件），而对分子则不作任何限制，因此我们称它为 $\frac{*}{\infty}$ 型的不定式问题。

先介绍 Cauchy 命题，这时上述分式的分母 $a_n=n \forall n$ ．

**定理 2.13（Cauchy 命题）** 若已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=c$ 有意义（即允许 $c$ 为有限数和 $\pm \infty$ 三种情况，但是不允许为  $\infty$）， 则有

$$
\boxed{
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=c
}
$$

证 只对于 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=c$ 为有限数的情况写出证明，其余情况留作练习题．
根据条件，对给定的 $\varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N:\left|x_n-c\right|<\varepsilon$ 。然后对于 $n>N$ ，采用分拆的方法作如下估计：

$$
\begin{aligned}
\left|\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}-c\right| & =\frac{\left|\left(x_1-c\right)+\cdots+\left(x_n-c\right)\right|}{n} \\
& \leqslant \frac{\left|\left(x_1-c\right)+\cdots+\left(x_N-c\right)\right|}{n}+\frac{\left|x_{N+1}-c\right|+\cdots+\left|x_n-c\right|}{n} \\
& <\frac{M}{n}+\frac{n-N}{n} \cdot \varepsilon<\frac{M}{n}+\varepsilon,
\end{aligned}
$$

其中的 $M=\left|\left(x_1-c\right)+\cdots+\left(x_N-c\right)\right|$ ，对已取定的 $N$ ，它是一个确定的数．

取 $N_1=\max \left\{N,\left[\frac{M}{\varepsilon}\right]\right\}$ ，则当 $n>N_1$ 时，就成立

$$
\left|\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}-c\right|<2 \varepsilon
$$

> 注 这里从给定的 $\varepsilon>0$ 开始证明存在满足要求的 $N_1$ 是两步完成的，这在分析中是一种常用的方法。

这里要提请注意，Cauchy 命题的用法是

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=c \Longrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}=c
$$

其逆定理不成立．这就是说从上式右边极限存在不能推出左边极限也存在。例如令 $x_n=(-1)^{n-1} \forall n$ ，则 $\sum_{i=1}^{2 n-1} x_i=1$ ，而 $\sum_{i=1}^{2 n} x_i=0$ ，因此极限

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}=0
$$

但 $\lim _{n \rightarrow \infty}(-1)^{n-1}$ 没有意义．

下一节介绍对 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_n}{a_n}$ 为 $\frac{*}{\infty}$ 型不定式时更为有力的计算工具——Stolz 定理．令其中的 $b_n=x_1+\cdots+x_n, a_n=n \forall n$ ，就得到上面的 Cauchy 命题．

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