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有理三角函数的积分

## 9.3.4 有理三角函数的积分
三角函数 $\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x$ 的有理式都可以转化为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的有理式，因此只要考虑如何求积

$$
I=\int R(\cos x, \sin x) d x
$$

其中 $R(u, v)$ 是 $u, v$ 的有理函数．
对这类积分有万能代换（或万能代换）$t=\tan \frac{x}{2}$ ，它可以将上述积分转化为有理函数的积分，从而一定可积．

万能代换之所以有效是因为它可以将 $\sin x, \cos x$ 和 $d x$ 同时有理化：

$$
\begin{aligned}
\sin x & =2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}=2 \tan \frac{x}{2} \cos ^2 \frac{x}{2}=\frac{2 t}{1+t^2} \\
\cos x & =\cos ^2 \frac{x}{2}-\sin ^2 \frac{x}{2}=\frac{1-\tan ^2 \frac{x}{2}}{\sec ^2 \frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \\
d x & =d(2 \arctan t)=\frac{2}{1+t^2} d t
\end{aligned}
$$

$$
\frac{1+t^2}{1-t^2}
$$

这样就可以将积分归结为有理函数的不定积分：

$$
I=\int R(\cos x, \sin x) d x=\int R\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2 t}{1+t^2}\right) \cdot \frac{2}{1+t^2} d t .
$$
 ![图片](/uploads/2025-02/fd842e.jpg)

下面举一些例子。

例题 9.43 求 $I=\int \frac{ d x}{\sin x}$（即基本不定积分表中最后一组的第一个积分）．
解 1 令 $t=\tan \frac{x}{2}$ ，则就有

$$
I=\int \frac{\frac{2}{1+t^2} d t}{\frac{2 t}{1+t^2}}=\int \frac{d t}{t}=\ln |t|+C=\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C
$$

但本题还有多种其他解法．
解 2 不用万能代换可以如下求解：

$$
\begin{aligned}
I & =\int \frac{d x}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}=\int \frac{d x}{2 \tan \frac{x}{2} \cos ^2 \frac{x}{2}} \\
& =\int \frac{\sec ^2 \frac{x}{2}}{\tan \frac{x}{2}} d\left(\frac{x}{2}\right)=\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C .
\end{aligned}
$$

解 3 也可以不用半角公式而求积如下．

$$
\begin{aligned}
I & =\int \frac{\sin x}{\sin ^2 x} d x=\int \frac{d \cos x}{\cos ^2 x-1} \\
& =\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right|+C .
\end{aligned}
$$

注 本题的答案还可以有以下各种不同形式：

$$
\begin{aligned}
\int \frac{d x}{\sin x} & =\ln \left|\frac{\sin x}{1+\cos x}\right|+C \\
& =\ln \left|\frac{1-\cos x}{\sin x}\right|+C
\end{aligned}
$$
例题 9.44 求 $I=\int \frac{ d \theta}{1-2 r \cos \theta+r^2}$ ，其中 $0 \leqslant r<1$ ．
 
解 用万能代换 $t=\tan \frac{\theta}{2}$ 即可计算如下：

$$
\begin{aligned}
I & =\int \frac{\frac{2}{1+t^2} d t}{1+r^2-2 r \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2 d t}{\left(1+r^2\right)\left(1+t^2\right)-2 r\left(1-t^2\right)} \\
& =\int \frac{2 d t}{(1+r)^2 t^2+(1-r)^2} \\
& =\frac{2}{(1+r)^2} \cdot \frac{1+r}{1-r} \cdot \arctan \left(\frac{1+r}{1-r} \cdot t\right)+C \\
& =\frac{2}{(1-r)^2} \cdot \arctan \left(\frac{1+r}{1-r} \cdot \tan \frac{\theta}{2}\right)+C .
\end{aligned}
$$

万能代换的缺点是代换后所得的有理函数的分母次数可能较高，从而引起繁复的计算．这里指出对于以下三种情况可以不必用万能代换。

1．若 $R(-\sin x, \cos x)=-R(\sin x, \cos x)$ ，则可用 $t=\cos x$（其特例就是 $R(\cos x) \sin x)$ ；

2．若 $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x, \cos x)$ ，则可用 $t=\sin x$（其特例就是 $R(\sin x) \cos x)$ ；

3．若 $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x, \cos x)$ ，则可用 $t=\tan x$（其特例就是 $R(\tan x))$ ．

注 这里可以与 $\S 9.2 .2$ 三角函数积分的例子作比较．当然在那里的被积函数不限于有理三角函数。

下面举一些例子。
例题 9.45 求 $I=\int \frac{ d x}{a+b \tan x}$ ，其中 $b \neq 0$ ．
解 1 作代换 $t=\tan x$ ，则得到 $I=\int \frac{ d t}{\left(1+t^2\right)(a+b t)}$ ．
作部分分式分解

$$
\frac{1}{\left(1+t^2\right)(a+b t)}=\frac{c}{a+b t}+\frac{A t+B}{1+t^2}
$$

则在两边乘以 $a+b t$ 后令 $t \rightarrow-\frac{a}{b}$ 就得到 $c=\frac{b^2}{a^2+b^2}$ ．然后移项计算

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{\left(1+t^2\right)(a+b t)}-\frac{b^2}{a^2+b^2} \cdot \frac{1}{a+b t} & =\frac{1}{\left(1+t^2\right)(a+b t)}\left(1-\frac{b^2}{a^2+b^2}\left(1+t^2\right)\right) \\
& =\frac{1}{\left(1+t^2\right)(a+b t)} \cdot \frac{1}{a^2+b^2} \cdot\left(a^2-b^2 t^2\right) \\
& =\frac{1}{1+t^2} \cdot \frac{a-b t}{a^2+b^2}
\end{aligned}
$$

最后计算不定积分如下
 
$$
\begin{aligned}
I & =\frac{b}{a^2+b^2} \ln |a+b t|-\frac{b}{2\left(a^2+b^2\right)} \ln \left(1+t^2\right)+\frac{a}{a^2+b^2} \arctan t+C \\
& =\frac{a}{a^2+b^2} x+\frac{b}{\left(a^2+b^2\right)} \ln \left|\frac{a+b t}{\sqrt{1+t^2}}\right|+C \\
& =\frac{a}{a^2+b^2} x+\frac{b}{\left(a^2+b^2\right)} \ln \left|\frac{a+b \tan x}{\sec x}\right|+C \\
& =\frac{a}{a^2+b^2} x+\frac{b}{\left(a^2+b^2\right)} \ln |a \cos x+b \sin x|+C .
\end{aligned}
$$

解 2 这又是可用配对法解决问题的一个例子．

$$
\begin{aligned}
I & =\int \frac{\cos x}{a \cos x+b \sin x} d x \\
& =A \int \frac{-a \sin x+b \cos x}{a \cos x+b \sin x} d x+B \int \frac{a \cos x+b \sin x}{a \cos x+b \sin x} d x \\
& =A \ln |a \cos x+b \sin x|+B x+C,
\end{aligned}
$$

其中的常数满足方程

$$
b A+a B=1, \quad-a A+b B=0
$$

这就解出 $A=\frac{b}{a^2+b^2}, B=\frac{a}{a^2+b^2}$ ．

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