最后更新: 2025-03-02 07:32 查看: 50 次纠错评论(0) 课件开VIP

最佳评方逼近

最佳平方逼近是用多项式逼近一个函数的方法，它选择的误差度量是赋范线性空间中的 L-2 范数，即平方积分

## 概念

设 $f$ 是内积空间 $E$ 中的一个元素， $(, )$ 是 E 上的内积， $M$ 是 $E$ 的一个子空间，那么对任意的 $p \in M$ 使

$$
e:=\sqrt{(f-p, f-p)}
$$

达到最小的 $p$ 称作 $f$ 在子空间 $E$ 上的最佳平方逼近元素。
在离散型中， $(f, g)$ 是实向量空间 (Euclid 空间) 上的内积；在连续型中， $(f, g)=\int_I \rho(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ，其中函数 $f(x), g(x)$ 定义在 $I$ 上且连续。

上述逼近问题的逼近元素是存在且唯一的。

## 充要条件

假设同上，且设 $M$ 的维数有限，那么 $p$ 是 $f$ 的最佳逼近元素当且仅当误差元 $f-p$ 与 $M$ 正交，即

$$
\left(f-p, e_k\right)=0, k=1,2, \cdots, m
$$

其中 $\left\{e_k\right\}_{k=1}^m$ 是 $M$ 上的极大线性无关组，特别地，可以是基底甚至是正交基底。此时逼近误差满足

$$
e:=\sqrt{(f-p, f-p)}=\sqrt{(f, f)-(f, p)} .
$$

## 法方程组

假设同上，设元素 $\boldsymbol{p}$ 用基底 $\left\{e_k\right\}$ 线性表示为

$$
p=\sum_{k=1}^m c_k e_k
$$

那么注意到充要条件，有

$$
\left(f-\sum_{k=1}^m c_k e_k, e_j\right)=0, \quad j=1,2, \cdots, m .
$$

于是展开内积，得到线性方程组

$$
\sum_{k=1}^m\left(e_k, e_j\right) c_k=\left(f, e_j\right), \quad j=1,2, \cdots, m \quad(*) .
$$

它的系数矩阵就是 $\operatorname{Gram}$ 矩阵 $G\left(e_1, e_2, \cdots, e_m\right)$. 方程组 $(*)$ 被称为法方程组。
特别地，若 $\left\{e_k\right\}_{k=1}^m$ 是正交基底，那么容易得到 Gram 矩阵是对角矩阵，直接就得到逼近元素

$$
p=\sum_{k=1}^m \frac{\left(f, e_k\right)}{\left(e_k, e_k\right)} e_k .
$$

因此设法使用正交多项式去逼近一个函数空间中的函数 $f(x)$ 会大大简化计算。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：最佳一致逼近

下一篇：不动点迭代法

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)