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有限维赋范线性空间的同构

二．有限维赋范线性空间的同构
定义 2．2．3．设 $X, Y$ 为赋范线性空间，若存在既单且满的线性映射 $T: X \rightarrow Y$ 满足 $T$ 与 $T^{-1}$ 均连续，则称 $X$ 与 $Y$ 同构，$T$ 称为 $X$ 到 $Y$ 的同构映射．若再有 $\|T x\|=$ $\|x\|, \forall x \in X$ ，则称 $X$ 与 $Y$ 等距同构．

易知，同构是等价性质。另外，该同构定义包含了代数意义下的同构和拓扑意义下的同肧两层涵义。

引理 2．2．1．设 $X, Y$ 为线性赋范空间，$T: X \rightarrow Y$ 为线性满射．则 $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的同构映射，当且仅当存在 $a, b \in R ^{+}$使得

$$
a\|x\| \leq\|T x\| \leq b\|x\|, \quad \forall x \in X
$$

证明 注意到 $a\|x\| \leq\|T x\|$ ，即 $\left\|T^{-1} y\right\| \leq \frac{1}{a}\|y\|$ ．再由赋范线性空间上线性算子连续与有界等价，只需证 2.1 式成立时，$T$ 是单射．

若 $T x_1=T x_2$ ，由（2．1）式可得

由于 $a \in R ^{+}$，故 $\left\|x_1-x_2\right\|=0$ ．从而 $x_1=x_2$ ．因此，$T$ 是单射．
定理 2．2．1．任意 $n$ 维赋范线性空间都与 $R ^n$ 同构．
证明 设 $\{X,\|\cdot\|\}$ 为 $n$ 维赋范线性空间，则存在一组基 $\left\{e_1, e_2, \cdots, e_n\right\}$ ．对 $\forall x \in$ $X$ ，可唯一表示为

$$
x=\xi_1 e_1+\xi_2 e_2+\cdots+\xi_n e_n
$$

记 $\xi=\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right) \in R ^n$ 。定义映射 $T: X \rightarrow R ^n$ 为 $T x=\xi$ 。 容易验证 $T$ 是既单且满的线性映射。

由引理 2．2．1，只需证明：$\exists a, b \in R ^{+}$使得 $a\|x\| \leq\|T x\| \leq b\|x\|, \forall x \in X$ ．
（1）对 $\forall x \in X \quad(T x=\xi)$

$$
\begin{aligned}
\|x\| & =\left\|\sum_{k=1}^n \xi_k e_k\right\| \leq \sum_{k=1}^n\left|\xi_k\right|\left\|e_k\right\| \leq\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^n\left\|e_k\right\|^2\right)^{\frac{1}{2}} \\
& =\frac{1}{a}\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{a}\|\xi\|=\frac{1}{a}\|T x\|
\end{aligned}
$$

其中，$a=1 /\left(\sum_{k=1}^n\left\|e_k\right\|^2\right)^{\frac{1}{2}} \in R ^{+}$．从而，对 $\forall x \in X$ ，都有 $a\|x\| \leq\|T x\|$ ．
（2）对 $\forall \xi=\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right) \in R ^n$ ，定义函数 $f: R ^n \rightarrow R$ 为

$$
f(\xi)=\left\|\xi_1 e_1+\xi_2 e_2+\cdots+\xi_n e_n\right\| \quad(=\|x\|)
$$

则 $f$ 连续．事实上，对 $\forall \xi, \eta \in R ^n$ ，都有

$$
\begin{aligned}
|f(\xi)-f(\eta)| & =\left|\left\|\sum_{k=1}^n \xi_k e_k\right\|-\left\|\sum_{k=1}^n \eta_k e_k\right\|\right| \leq\left\|\sum_{k=1}^n \xi_k e_k-\sum_{k=1}^n \eta_k e_k\right\| \\
& \leq \frac{1}{a}\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k-\eta_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{a}\|\xi-\eta\|
\end{aligned}
$$

记 $R ^n$ 的单位球面为

$$
S\left( R ^n\right)=\left\{\xi \in R ^n: \sum_{k=1}^n\left|\xi_k\right|^2=1\right\}
$$

则 $S\left( R ^n\right)$ 是有界闭集从而是紧集，于是 $f$ 在 $S\left( R ^n\right)$ 上能取到最小值。又因为在 $S\left( R ^n\right)$ 上，$\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 不同时为 0 ，又 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 线性无关，故 $\xi_1 e_1+\xi_2 e_2+$ $\cdots+\xi_n e_n \neq 0$ ．故 $f(\xi)>0, \forall \xi \in S\left( R ^n\right)$ ．从而存在 $\beta>0$ 使得

$$
f(\xi) \geq \beta, \quad \forall \xi \in S\left( R ^n\right)
$$

于是，对 $\forall x \in X$ ，记 $x=\sum_{k=1}^n \xi_k e_k$ ，令 $\xi=\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)$ ，则有

$$
\begin{aligned}
f(\xi) & =\|x\|=\left\|\frac{x}{\|\xi\|}\right\| \cdot\|\xi\|=\left\|\sum_{k=1}^n \frac{\xi_k}{\|\xi\|} e_k\right\| \cdot\|\xi\| \\
& \geq \beta\|\xi\|=\beta\|T x\|
\end{aligned}
$$

令 $b=\frac{1}{\beta} \in R ^{+}$，则得到 $\|T x\| \leq b\|x\|, \forall x \in X$ ．

注 2．2．1．（1）该定理说明 $n$ 维赋范线性空间都与 $R ^n$ 代数同构（一对一，线性），拓扑同胚（收敛性，开集，闭集是一样的）；
（2）若对 $(X,\|\cdot\|)$ 赋予另一种范数：

$$
\|x\|_n=\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}, \quad \forall x=\sum_{k=1}^n \xi_k e_k \in X
$$

则 $\|\cdot\|$ 与 $\|\cdot\|_n$ 等价．
推论 2．2．1．（i）同维数的有限维赋范线性空间彼此同构；
（ii）有限维赋范线性空间上任意范数都等价．
推论 2．2．2．有限维赋范线性空间是完备的；赋范线性空间的任何有限维子空间都是闭的．

推论 2．2．3．有限维赋范线性空间中的任何有界集都是列紧集．
定理 2．2．2．（最佳逼近元的存在性）设 $X$ 为赋范线性空间，$X_0$ 为 $X$ 的有限维子空间，则对 $\forall x \in X$ ，都存在 $y_0 \in X_0$ 使得

$$
d\left(x, X_0\right)=\inf _{y \in X_0}\|x-y\|=\left\|x-y_0\right\|
$$

证明 由＂inf＂的定义，存在一列 $\left\{y_n\right\} \subset X_0$ 使得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x-y_n\right\|=d\left(x, X_0\right)
$$

易知 $\left\{y_n\right\}$ 有界，由推论 2．2．3知 $\left\{y_n\right\}$ 列紧，从而存在子列 $\left\{y_{n_k}\right\} \subset\left\{y_n\right\}$ 使得 $y_{n_k} \rightarrow$ $y_0,(n \rightarrow \infty)$ ．再由 $X_0$ 是闭的，故 $y_0 \in X_0$ ．因此

$$
d\left(x, X_0\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x-y_n\right\|=\lim _{k \rightarrow \infty}\left\|x-y_{n_k}\right\|=\left\|x-y_0\right\|
$$

定理得证。

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