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有限维赋范线性空间的同构

二．有限维赋范线性空间的同构
定义 2．2．3．设 $X, Y$ 为赋范线性空间，若存在既单且满的线性映射 $T: X \rightarrow Y$ 满足 $T$ 与 $T^{-1}$ 均连续，则称 $X$ 与 $Y$ 同构，$T$ 称为 $X$ 到 $Y$ 的同构映射．若再有 $\|T x\|=$ $\|x\|, \forall x \in X$ ，则称 $X$ 与 $Y$ 等距同构．

易知，同构是等价性质。另外，该同构定义包含了代数意义下的同构和拓扑意义下的同肧两层涵义。

引理 2．2．1．设 $X, Y$ 为线性赋范空间，$T: X \rightarrow Y$ 为线性满射．则 $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的同构映射，当且仅当存在 $a, b \in R ^{+}$使得

$$
a\|x\| \leq\|T x\| \leq b\|x\|, \quad \forall x \in X
$$

证明 注意到 $a\|x\| \leq\|T x\|$ ，即 $\left\|T^{-1} y\right\| \leq \frac{1}{a}\|y\|$ ．再由赋范线性空间上线性算子连续与有界等价，只需证 2.1 式成立时，$T$ 是单射．

若 $T x_1=T x_2$ ，由（2．1）式可得

由于 $a \in R ^{+}$，故 $\left\|x_1-x_2\right\|=0$ ．从而 $x_1=x_2$ ．因此，$T$ 是单射．
定理 2．2．1．任意 $n$ 维赋范线性空间都与 $R ^n$ 同构．
证明 设 $\{X,\|\cdot\|\}$ 为 $n$ 维赋范线性空间，则存在一组基 $\left\{e_1, e_2, \cdots, e_n\right\}$ ．对 $\forall x \in$ $X$ ，可唯一表示为

$$
x=\xi_1 e_1+\xi_2 e_2+\cdots+\xi_n e_n
$$

记 $\xi=\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right) \in R ^n$ 。定义映射 $T: X \rightarrow R ^n$ 为 $T x=\xi$ 。 容易验证 $T$ 是既单且满的线性映射。

由引理 2．2．1，只需证明：$\exists a, b \in R ^{+}$使得 $a\|x\| \leq\|T x\| \leq b\|x\|, \forall x \in X$ ．
（1）对 $\forall x \in X \quad(T x=\xi)$

$$
\begin{aligned}
\|x\| & =\left\|\sum_{k=1}^n \xi_k e_k\r

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