最后更新: 2025-04-27 21:18 查看: 41 次纠错评论(0) 课件开VIP

Banach 空间的几何性质

2．3 Banach 空间的几何性质
定义 2．3．1．设 $X$ 为线性空间，$E \subset X$ ，若对任意的 $x, y \in E$ ，以及 $\lambda \in[0,1]$ ，都有 $\lambda x+(1-\lambda) y \in E$ ，则称 $E$ 为凸集。

记 $\left\{E_\alpha: E_\alpha\right.$ 凸，$\left.E \subset E_\alpha, \alpha \in \Gamma\right\}$ 为包含 $E$ 的凸集的全体，则 $\bigcap_{\alpha \in \Gamma} E_\alpha$ 是包含 $E$ 的最小凸集，称为 $E$ 的凸包，记为 $\operatorname{co}(E)$ ．

可见，若 $E$ 为凸集，则 $E$ 中任意两点连线的线段都包含于 $E$ ．
命题 2．3．1．设 $X$ 为线性空间，$E \subset X$ ，则

$$
\operatorname{co}(E)=\left\{\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i: x_i \in E, \lambda_i \geq 0, \sum_{i=1}^n \lambda_i=1\right\}
$$

证明 记上式右端为 $S$ ，显然 $S$ 是凸集，且 $E \subset S$ ，从而 $\operatorname{co}(E) \subset S$ ．
反之，设 $E_\alpha$ 为包含 $E$ 的任一凸集，则对任意的 $x_i \in E \subset E_\alpha, ~ \lambda_i \geq 0, ~ \sum_{i=1}^n \lambda_i=1$ ，都有 $\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \in E_\alpha$ ，故 $S \subset E_\alpha$ ．从而 $S \subset \bigcap_{\alpha \in \Gamma} E_\alpha=\operatorname{co}(E)$ ．

定义 2．3．2．设 $X$ 为赋范线性空间，若对 $\forall x \neq y \in S(X)$ ，都有

$$
\left\|\frac{x+y}{2}\right\|<1
$$

则称 $X$ 是严格凸的。
定义 2．3．3．设 $X$ 为赋范线性空间，若对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得当 $x, y \in$ $S(X),\|x-y\| \geq \varepsilon$ 时，有

$$
\left\|\frac{x+y}{2}\right\|<1-\delta
$$

则称 $X$ 是一致凸的。
注 2．3．1．上述定义中的 $1 / 2$ 也可换成任意的 $\lambda \in(0,1)$ ．显然，一致凸 $\Rightarrow$ 严格凸。
定理 2．3．1．设 $X$ 为 Banach 空间，则 $X$ 是一致凸的，当且仅当若

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|y_n\right\|=1, \quad \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n+y_n\right\|=2
$$

则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n-y_n\right\|=0$ ．

证明＂$\Rightarrow$＂．设 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n+y_n\right\|=2$ ，分两种情形：
（i）若 $\left\|x_n\right\|=1,\left\|y_n\right\|=1$ ．假设 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n-y_n\right\| \neq 0$ ，则存在 $\varepsilon_0>0$ ，以及子列 $\left\{x_{n_k}\right\} \subset\left\{x_n\right\},\left\{y_{n_k}\right\} \subset\left\{y_n\right\}$ ，使得 $\left\|x_{n_k}-y_{n_k}\right\| \geq \varepsilon_0$ ．再由一致凸的定义，存在 $\delta=\delta_X\left(\varepsilon_0\right)>0$ ，使得

$$
\left\|\frac{x_{n_k}+y_{n_k}}{2}\right\|<1-\delta
$$

从而， $\liminf _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n+y_n\right\| \leq 2-2 \delta<2$ ，矛盾。
（ii）若 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|y_n\right\|=1$ ．
令 $x_n^{\prime}=\frac{x_n}{\left\|x_n\right\|}, y_n^{\prime}=\frac{y_n}{\left\|y_n\right\|}$ ，则 $\left\|x_n^{\prime}\right\|=\left\|y_n^{\prime}\right\|=1$ ，又由范数的连续性可得

$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n^{\prime}+y_n^{\prime}\right\| & =\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{x_n}{\left\|x_n\right\|}+\frac{y_n}{\left\|y_n\right\|}\right\|=\left\|\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_n}{\left\|x_n\right\|}+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{y_n}{\left\|y_n\right\|}\right\| \\
& =\left\|\lim _{n \rightarrow \infty} x_n+\lim _{n \rightarrow \infty} y_n\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n+y_n\right\|=2
\end{aligned}
$$

从而，由（i）的结论知， $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n^{\prime}-y_n^{\prime}\right\|=0$ ．于是

$$
\begin{aligned}
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n-y_n\right\| & =\lim _{n \rightarrow \infty}\| \| x_n\left\|x_n^{\prime}-\right\| y_n\left\|y_n^{\prime}\right\|=\left\|\lim _{n \rightarrow \infty}\right\| x_n\left\|x_n^{\prime}-\lim _{n \rightarrow \infty}\right\| y_n\left\|y_n^{\prime}\right\| \\
& =\left\|\lim _{n \rightarrow \infty} x_n^{\prime}-\lim _{n \rightarrow \infty} y_n^{\prime}\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n^{\prime}-y_n^{\prime}\right\|=0
\end{aligned}
$$

＂$\Leftarrow$＂．假设 $X$ 不一致凸，则存在 $\varepsilon_0>0$ ，对每一个 $\delta_n=1 / n$ ，都存在 $x_n, y_n \in S(X)$ ，满足 $\left\|x_n-y_n\right\| \geq \varepsilon_0$ ，且．

$$
\left\|\frac{x_n+y_n}{2}\right\| \geq 1-\frac{1}{n}
$$

从而， $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n+y_n\right\|=2$ ，但 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n-y_n\right\| \neq 0$ ，矛盾。

推论 2．3．1．设 $X$ 为一致凸 Banach 空间，$\left\{x_n\right\} \subset X$ ，若 $\left\|x_n\right\| \rightarrow 1$ 且 $\lim _{n, m \rightarrow \infty} \| x_n+$ $x_m \|=2$ ，则 $\lim _{n, m \rightarrow \infty}\left\|x_n-x_m\right\|=0$ ．

命题 2．3．2．设 $X$ 为一致凸 Banach 空间，$C \subset X$ 为非空闭凸集，则存在唯一的 $x_0 \in C$ ，使得 $\left\|x_0\right\|=\inf \{\|x\|: x \in C\}$ 。

证明 记 $d=\inf \{\|x\|: x \in C\}$ ，取点列 $\left\{x_n\right\} \subset C$ 满足

$$
\left\|x_n\right\| \rightarrow d, \quad n \rightarrow \infty
$$

若 $d=0$ ，则 $x_n \xrightarrow{\|\cdot\|} \theta$ ，又 $C$ 闭，则 $\theta \in C$ ．此时， $\inf \{\|x\|: x \in C\}=0$ ．取 $x_0=\theta$ 即可。

若 $d>0$ ，由 $C$ 凸，则 $\frac{x_n+x_m}{2} \in C$ ，从而

$$
d \leq\left\|\frac{x_n+x_m}{2}\right\| \leq \frac{\left\|x_n\right\|+\left\|x_m\right\|}{2}
$$

令 $n, m \rightarrow \infty$ ，可得 $\lim _{n, m \rightarrow \infty}\left\|x_n+x_m\right\|=2 d$ ．故由推论 2．3．1 知， $\lim _{n, m \rightarrow \infty}\left\|x_n-x_m\right\|=0$ ．这说明 $\left\{x_n\right\}$ 为 Cauchy 列，又 $X$ 完备，故 $\left\{x_n\right\}$ 收玫，记 $x_n \rightarrow x_0,(n \rightarrow \infty)$ ．注意到 $C$ 闭，则 $x_0 \in C$ ，即为所求。

描述 Banach 空间的几何性质，常用的一种方式就是基于空间的某种考虑定义一个实函数（模），然后定义出与该函数有紧密关系的常数或系数。这主要是为了更好理解和描述以下两方面的内容：
（1）空间单位球的形状；
（2）弱收敛序列与强收敛序列间的隐含关系。
Banach 空间模和常数的研究，是从1936年 Clarkson 为了精确测量 Banach 空间一致凸的程度引入凸性模开始的。

定义 2．3．4．设 $X$ 为 Banach 空间，定义函数 $\delta_X:[0,2] \rightarrow[0,1]$ 为

$$
\delta_X(\varepsilon)=\inf \left\{1-\left\|\frac{x+y}{2}\right\|: x, y \in S(X),\|x-y\| \geq \varepsilon\right\}
$$

称为凸性模；记

$$
\varepsilon_0(X)=\sup \left\{\varepsilon \geq 0: \delta_X(\varepsilon)=0\right\}
$$

称为凸系数，实际上，$\varepsilon_0(X)$ 可以理解为 $X$ 单位球面上所包含线段长度的最大值。
注 2．3．2．由 $\delta_X(\varepsilon)$ 的定义易知：

$$
\left.\begin{array}{r}
\|x\| \leq 1 \\
\|y\| \leq 1 \\
\|x-y\| \geq \varepsilon
\end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad\left\|\frac{x+y}{2}\right\| \leq 1-\delta_X(\varepsilon)
$$

简单推导可得如下的等价表示：设 $x, y, p \in X, R>0, r \in[0,2 R]$

$$
\left.\begin{array}{rl}
\|x-p\| & \leq R \\
\|y-p\| & \leq R \\
\|x-y\| & \geq r
\end{array}\right\} \quad \Rightarrow \quad\left\|\frac{x+y}{2}\right\| \leq\left(1-\delta_X\left(\frac{r}{R}\right)\right) R
$$

命题 2．3．3．$\delta_X(\cdot)$ 是 $[0,2)$ 上的连续函数，且在 $\left[\varepsilon_0(X), 2\right]$ 严格递增。
注 2．3．3．$\delta_X(\varepsilon)$ 在 $\varepsilon=2$ 处不连续，但有下式成立：

$$
\lim _{\varepsilon \rightarrow 2^{-}} \delta_X(\varepsilon)=1-\frac{\varepsilon_0(X)}{2}
$$

命题 2．3．4．设 $X$ 为 Banach 空间，则下列条件等价：
（i）$X$ 一致凸；
（ii）$\delta_X(\varepsilon)>0, \forall \varepsilon \in(0,2]$ ；
（iii）$\varepsilon_0(X)=0$ ．
$L^p[a, b], \ell^p,(1<p<\infty)$ 是一致凸的；$\ell^1, L^1[a, b], C[a, b], L^{\infty}[a, b]$ 不是一致凸的。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇： Riesz引理及有限维与无限维空间的区别

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)