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内积空间基本概念

一．内积空间
定义 3．1．1．设 $H$ 为实（复）线性空间， $K$ 为实数（复数）域，若对 $\forall x, y \in H$ ，都有一个实数（复数）$\langle x, y\rangle$ 与之对应，且满足：
（i）$\langle x, x\rangle \geq 0$ ，且 $\langle x, x\rangle=0$ 当且仅当 $x=0$ ；
（ii）$\langle x, y\rangle=\langle y, x\rangle,(\langle x, y\rangle=\overline{\langle y, x\rangle})$ ；
（iii）$\langle k x, y\rangle=k\langle x, y\rangle$ ；
（iv）$\langle x+y, z\rangle=\langle x, y\rangle+\langle y, z\rangle$ ．
则称 $\langle, \cdot\rangle$ ）为 $H$ 上的一个内积，定义了内积的线性空间 $H$ 称为内积空间 ${ }^1$ 。
注 3．1．1．若 $K = R$ ，则 $\langle x, y\rangle$ 关于 $x, y$ 都是线性的；
若 $K = C$ ，则 $\langle x, y\rangle$ 关于 $x$ 是线性的，关于 $y$ 是共轭线性的，即 $\langle x, k y+z\rangle=$ $\bar{k}\langle x, y\rangle+\langle x, z\rangle$ ．实际上，

$$
\langle x, k y+z\rangle=\overline{\langle k y+z, x\rangle}=\overline{k\langle y, x\rangle}+\overline{\langle z, x\rangle}=\bar{k}\langle x, y\rangle+\langle x, z\rangle
$$

接下来考虑由内积诱导的范数。设 $H$ 为内积空间，定义

$$
\|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle}, \quad \forall x \in H
$$

引理 3．1．1．（Schwarz 不等式）设 $H$ 为内积空间，$\|\cdot\|$ 如式（3．1）所定义，则

$$
|\langle x, y\rangle| \leq\|x\|\|y\|, \quad \forall x, y \in H
$$

且＂$=$＂成立，当且仅当存在 $\lambda_0 \in C$ 使得 $x=\lambda_0 y$ ．

证明 任取 $\lambda \in C$ ，对 $\forall x, y \in H$ ，都有

$$
0 \leq\langle x+\lambda y, x+\lambda y\rangle=\langle x, x\rangle+\bar{\lambda}\langle x, y\rangle+\lambda\langle y, x\rangle+\lambda \bar{\lambda}\langle y, y\rangle
$$

不妨设 $y \neq \theta\left(y=\theta\right.$ ，结论显然成立），令 $\lambda=-\frac{\langle x, y\rangle}{(y, y\rangle}$ ，代入上式可得

$$
0 \leq\langle x, x\rangle-\frac{\overline{\langle x, y\rangle}\langle x, y\rangle}{\langle y, y\rangle}-\frac{\langle x, y\rangle\langle y, x\rangle}{\langle y, y\rangle}+\frac{|\langle x, y\rangle|^2}{\langle y, y\rangle^2}\langle y, y\rangle
$$

化简得

$$
0 \leq\|x\|^2-\frac{|\langle x, y\rangle|^2}{\|y\|^2}
$$

从而，$|\langle x, y\rangle| \leq\|x\|\|y\|$ 成立。
由内积定义的（i）知，若上述推导的＂$=$＂成立，当且仅当 $x+\lambda y=\theta$ ，故取 $\lambda_0=$ $\frac{\langle x, y\rangle}{\langle y, y\rangle}$ 即可。

注 3．1．2．在不同的内积空间具体的内积下，应用 Schwarz 不等式可以得到很多有用的不等式。

下面验证式（3．1）定义的 $\|\cdot\|$ 满足范数三条：
（i）显然；
（ii）$\|k x\|=|k|\|x\|$ ．

$$
\|k x\|=\sqrt{\langle k x, k x\rangle}=\sqrt{|k|^2\langle x, x\rangle}=|k| \sqrt{\langle x, x\rangle}=|k|\|x\|
$$

（iii）$\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$ ．利用 Schwarz 不等式，有

$$
\begin{aligned}
\|x+y\|^2 & =\langle x+y, x+y\rangle=\langle x, x+y\rangle+\langle y, x+y\rangle \\
& \leq\|x\|\|x+y\|+\|y\|\|x+y\|
\end{aligned}
$$

从而，$\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$ ．
于是，$\|\cdot\|$ 是范数，称为由内积诱导的范数。因此，内积空间在内积诱导的范数下构成赋范线性空间。

命题 3．1．1．设 $H$ 为内积空间，则内积 $\langle x, y\rangle$ 是关于 $x, y$ 的连续函数，即当 $x_n \xrightarrow{\|\cdot\|}$ $x, y_n \xrightarrow{\|\cdot\|} y$ 时，有 $\left\langle x_n, y_n\right\rangle \rightarrow\langle x, y\rangle$ ．

证明 由 Schwarz 不等式，注意到 $\left\{\left\|x_n\right\|\right\}$ 有界

$$
\begin{aligned}
\left|\left\langle x_n, y_n\right\rangle-\langle x, y\rangle\right| & \leq\left|\left\langle x_n, y_n\right\rangle-\left\langle x_n, y\right\rangle\right|+\left|\left\langle x_n, y\right\rangle-\langle x, y\rangle\right| \\
& =\left|\left\langle x_n, y_n-y\right\rangle\right|+\left|\left\langle x_n-x, y\right\rangle\right| \\
& \leq\left\|x_n\right\|\left\|y_n-y\right\|+\left\|x_n-x\right\|\|y\| \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$

从而，$\langle x, y\rangle$ 关于 $x, y$ 连续。
定理 3．1．1．设 $H$ 为内积空间，$\|\cdot\|$ 为内积诱导的范数，则平行四边形法则成立，即
$$
\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\left(\|x\|^2+\|y\|^2\right), \quad \forall x, y \in H
$$

证明 由于

$$
\begin{aligned}
\|x+y\|^2 & =\langle x+y, x+y\rangle=\langle x, x\rangle+\langle x, y\rangle+\langle y, x\rangle+\langle y, y\rangle \\
& =\|x\|^2+\langle x, y\rangle+\langle y, x\rangle+\|y\|^2 \\
\|x-y\|^2 & =\langle x-y, x-y\rangle=\langle x, x\rangle-\langle x, y\rangle-\langle y, x\rangle+\langle y, y\rangle \\
& =\|x\|^2-\langle x, y\rangle-\langle y, x\rangle+\|y\|^2
\end{aligned}
$$

上述两式相加可得。
注 3．1．3．（i）平行四边形法则的几何解释：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和；
（ii）若赋范线性空间 $X$ 的范数 $\|\cdot\|$ 满足平行四边形法则，则可以在 $X$ 上定义一个内积（该内积诱导的范数恰好是 $\|\cdot\|$ ）：

实赋范线性空间：

$$
\langle x, y\rangle=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right), \quad x, y \in X
$$
复赋范线性空间：

$$
\langle x, y\rangle=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2+i\|x+i y\|^2-i\|x-i y\|^2\right), \quad x, y \in X
$$

可见，赋范线性空间 $X$ 是内积空间，当且仅当其范数满足平行四边形法则。

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