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标准正交基

3.3 标准正交基

一．标准正交基
定义 3．3．1．设 $H$ 为内积空间，$\left\{e_n\right\} \subset H$ ，若对 $\forall n \neq m$ ，都有 $\left\langle e_n, e_m\right\rangle=0$ ，则称 $\left\{e_n\right\}$ 为正交集，若再有 $\left\|e_n\right\|=1, \forall n$ ，则称 $\left\{e_n\right\}$ 为标准正交集。

命题 3．3．1．设 $H$ 为内积空间，$\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ 为 $H$ 中的标准正交集，则 $\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ 线性无关；若 $\operatorname{dim}(H)=n$ ，则 $\forall x \in H$ ，都可表示为 $x=\sum_{k=1}^n\left\langle x, e_k\right\rangle e_k$ ．

证明（1）设 $\lambda_1 e_1+\cdots+\lambda_n e_n=\theta$ ，则

$$
0=\left\langle\lambda_1 e_1+\cdots+\lambda_n e_n, e_m\right\rangle=\lambda_m\left\langle e_m, e_m\right\rangle=\lambda_m\left\|e_m\right\|^2=\lambda_m
$$

故 $\lambda_m=0, m=1, \cdots, n$ ．因此，$\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ 线性无关。
（2）由于 $\operatorname{dim}(H)=n$ ，又 $\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ 线性无关，从而是 $H$ 的一组基，于是对 $\forall x \in H$ ，存在唯一表示 $x=\sum_{k=1}^n \lambda_k e_k$ 。两边对 $e_l$ 做内积可得

$$
\left\langle x, e_l\right\rangle=\left\langle\sum_{k=1}^n \lambda_k e_k, e_l\right\rangle=\sum_{k=1}^n \lambda_k\left\langle e_k, e_l\right\rangle=\lambda_l\left\langle e_l, e_l\right\rangle=\lambda_l\left\|e_l\right\|^2=\lambda_l
$$

对 $l=1, \cdots, n$ 都成立，因此，$x=\sum_{k=1}^n\left\langle x, e_k\right\rangle e_k$ ．
注 3．3．1．在 $x$ 的标准正交基表示中，$e_k$ 的系数 $\left\langle x, e_k\right\rangle$ ，实际上是 $x$ 在 $e_k$ 上的投影。

推论 3．3．1．设 $H$ 为内积空间，$\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ 为 $H$ 中的标准正交集，$M=\overline{\operatorname{span}}\left\{e_k\right\}_{k=1}^n$ ，则对 $\forall x \in H$ ，都有 $x$ 在 $M$ 上的正交投影为 $y=\sum_{k=1}^n\left\langle x, e_k\right\rangle e_k$ ．

证明 对 $\forall x \in H, M$ 是 $H$ 的闭子空间，则由 Hilbert 空间正交分解定理，存在唯一的正交分解

$$
x=y+z, \quad \text { 其中 } y \in M, z \in M^{\perp}
$$

从而，由命题 3．3．1 知

$$
y=\sum_{k=1}^n\left\langle y, e_k\right\rangle e_k=\sum_{k=1}^n\left\langle x-z, e_k\right\rangle e_k=\sum_{k=1}^n\left\langle x, e_k\right\rangle e_k-\sum_{k=1}^n\left\langle z, e_k\right\rangle e_k=\sum_{k=1}^n\left\langle x, e_k\right\rangle e_k
$$

故结论成立。
命题 3．3．2．设 $H$ 为内积空间，$\left\{e_n\right\}$ 为 $H$ 中的标准正交集，则

$$
\left\|\sum_n \lambda_n e_n\right\|^2=\sum_n\left|\lambda_n\right|^2
$$

例 3．3．1．在 $R ^n$ 中，记

$$
e_k=(0, \cdots, 0, \underset{\text { 第k位 }}{1}, 0, \cdots, 0), \quad k=1, \cdots, n
$$

则 $\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ 是 $R ^n$ 的一组标准正交基。
例 3．3．2．在 $\ell^2$ 中，记

$$
e_n=\{0, \cdots, 0, \underset{\text { 第 } n \text { 位 }}{1}, 0, \cdots\}, \quad n=1,2, \cdots
$$

则 $\left\{e_n\right\}$ 是 $\ell^2$ 的一组标准正交基。

例 3．3．2．在 $\ell^2$ 中，记

$$
e_n=\{0, \cdots, 0, \underset{\text { 第 } n \text { 位 }}{1}, 0, \cdots\}, \quad n=1,2, \cdots
$$

则 $\left\{e_n\right\}$ 是 $\ell^2$ 的一组标准正交基。
证明 对 $\forall x \in \ell^2$ ，记 $x=\left\{\xi_n\right\}$ ，令 $x_n=\sum_{k=1}^n \xi_k e_k$ ，则

$$
\left\|x_n-x\right\|=\left\langle\sum_{k=n+1}^{\infty} \xi_k e_k, \sum_{k=n+1}^{\infty} \xi_k e_k\right\rangle^{\frac{1}{2}}=\left(\sum_{k=n+1}^{\infty}\left|\xi_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \rightarrow 0, \quad n \rightarrow \infty
$$

这说明 $x$ 可由 $\left\{e_n\right\}$ 的线性组合任意逼近，即 $\ell^2$ 包含在由 $\left\{e_n\right\}$ 张成的最小闭线性子空间中。因此，$\left\{e_n\right\}$ 是 $\ell^2$ 的一组标准正交基。

例 3．3．3．在 $L^2[-\pi, \pi]$ 中，三角函数系：

$$
\left\{e_n\right\}=\left\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos t, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin t, \cdots, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos n t, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin n t, \cdots\right\}
$$

是 $L^2[-\pi, \pi]$ 的一组标准正交基 ${ }^2$ 。

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