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可分的 Hilbert 空间与 l 等距同构

四．可分的 Hilbert 空间与 $\ell^2$ 等距同构
定义 3．3．3．设 $\left\{H_1,\langle\cdot, \cdot\rangle_1\right\}$ 与 $\left\{H_2,\langle\cdot, \cdot\rangle_2\right\}$ 为两个内积空间，若存在线性双射 $T: H_1 \rightarrow H_2$ 满足

$$
\langle T x, T y\rangle_2=\langle x, y\rangle_1, \quad \forall x, y \in H_1
$$

则称 $H_1$ 与 $H_2$ 等距同构。
定理 3．3．5．设 $H$ 为 Hilbert 空间，则 $H$ 可分，当且仅当 $H$ 存在至多可列的标准正交基 $S$ 。记 $S$ 中的元素个数为 $N$ ，若 $N<+\infty$ ，则 $H$ 与 $R ^N$（或 $C ^N$ ）等距同构；若 $N=+\infty$ ，则 $H$ 与 $\ell^2$ 等距同构。

证明（1）＂$\Rightarrow$＂．$H$ 可分，取 $\left\{x_n\right\}$ 为 $H$ 的可数稠密子集，则由 Schmidt 正交化定理，存在 $\operatorname{span}\left\{x_n\right\}$ 的一组标准正交基 $\left\{e_k\right\}_{k=1}^N$ ，其中，$N<+\infty$ 或 $N=+\infty$ ．从而 $\operatorname{span}\left\{e_k\right\}=\operatorname{span}\left\{x_n\right\}$ 。注意到 $\left\{x_n\right\}$ 在 $H$ 中稠密，故 $\overline{\operatorname{span}}\left\{e_k\right\}=\overline{\operatorname{span}}\left\{x_n\right\}=H$ 。因此，$\left\{e_k\right\}_{k=1}^N$ 是 $H$ 的标准正交基。
＂$\Leftarrow$＂．设 $\left\{e_k\right\}_{k=1}^N$ 为 $H$ 的标准正交基，则

$$
\left\{x=\sum_{k=1}^N \lambda_k e_k: \operatorname{Re} \in Q , \lambda_k, \operatorname{Im} \lambda_k \in Q \right\}
$$

是 $H$ 的稠密子集，且可列，故 $H$ 可分。
（2）$\left\{e_k\right\}_{k=1}^N$ 为 $H$ 的标准正交基，则对 $\forall x \in H$ ，都有唯一表示 $x=\sum_{k=1}^N\left\langle x, e_k\right\rangle e_k$ ，定义映射 $T: H \rightarrow R ^n\left( C ^n\right)$ 或 $\ell^2$ 为

$$
T x=\left\{\left\langle x, e_k\right\rangle\right\}_{k=1}^N \quad x \in H
$$

则易知 $T$ 是线性双射，且

$$
\langle x, y\rangle=\left\langle\sum_{k=1}^N\left\langle x, e_k\right\rangle e_k, \sum_{k=1}^N\left\langle y, e_k\right\rangle e_k\right\rangle=\sum_{k=1}^N\left\langle x, e_k\right\rangle \overline{\left\langle y, e_k\right\rangle}=\langle T x, T y\rangle
$$

故 $T$ 是等距。另外，由 Parseval 等式知

$$
\|x\|^2=\sum_{k=1}^N\left|\left\langle x, e_k\right\rangle\right|^2=\|T x\|^2
$$

因此，当 $N<+\infty$ 时，则 $H$ 与 $R ^N$（或 $C ^N$ ）等距同构；当 $N=+\infty$ 时，则 $H$ 与 $\ell^2$ 等距同构。

注 3．3．2．该定理表明无限维可分的 Hilbert 空间，可表示为坐标形式的 $\ell^2$ ，即每个元素都与一组坐标一一对应。

推论 3．3．2．设 $H$ 为 Hilbert 空间，$\left\{e_n\right\}$ 为 $H$ 中的标准正交集，$\left\{\lambda_n\right\}$ 为数列，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n e_n$ 收玫，当且仅当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|\lambda_n\right|^2<\infty$ ，即 $\left\{\lambda_n\right\} \in \ell^2$ ．

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