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何时构成Banach空间

三．$L(X, Y)$ 何时构成 Banach 空间？
定义 4．1．5．设 $\left\{T_n\right\} \subset L(X, Y)$ ，若 $\left\|T_n-T\right\| \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$ ，则称 $T_n$ 依范数收敛到 $T$ ，记为 $T_n \xrightarrow{\|\cdot\|} T$ ．

命题 4．1．3．设 $\left\{T_n\right\} \subset L(X, Y)$ ，则 $T_n \xrightarrow{\|\cdot\|} T \Leftrightarrow T_n$ 在任意有界集上都一致收敛到 $T$ ．

故在 $A$ 上有 $T_n \rightrightarrows T$ ．
＂$\Leftarrow$＂．$S(X)$ 有界，由题设知在 $S(X)$ 上有 $T_n \rightrightarrows T$ ，即对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $N=N(\varepsilon)$ ，当 $n \geq N$ 时有

$$
T_n x-T x \|<\varepsilon, \quad \forall x \in S(X)
$$

从而

$$
\left\|T_n-T\right\|=\sup _{x \in S(X)}\left\|\left(T_n-T\right) x\right\|=\sup _{x \in S(X)}\left\|T_n x-T x\right\| \leq \varepsilon
$$

因此，$T_n \xrightarrow{\|\cdot\|} T$ ．
定义 4．1．6．设 $\left\{T_n\right\} \in L(X, Y)$ ，若对 $\forall x \in X$ ，都有 $\left\|T_n x-T x\right\| \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$ ，则称 $T_n$（点点）收敛到 $T$ ，记为 $T_n \rightarrow T$ ．

显然，$T_n \xrightarrow{\|\cdot\|} T \Rightarrow T_n \rightarrow T$ ．
例 4．1．4．（点点收敛但不依范数收敛）设 $X=\ell^p$ ，对 $\forall x=\left\{\xi_1, \cdots, \xi_n, \cdots\right\} \in \ell^p$ ，考虑左移算子（左移 $n$ 个位置）：

$$
T_n x=\left\{\xi_{n+1}, \xi_{n+2}, \cdots\right\}
$$

则易知 $T_n$ 是 $\ell^p$ 上的线性算子，又

$$
\left\|T_n x\right\|=\left\|\left\{\xi_{n+1}, \xi_{n+2}, \cdots\right\}\right\|=\left(\sum_{k=n+1}^{\infty}\left|\xi_k\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|\xi_k\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}=\|x\|
$$

故 $T_n$ 有界，于是 $T_n \in L(X)$ ．
（1）$T_n \rightarrow \theta$ ．
对 $\forall x \in \ell^p$ ，有 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|\tilde{\xi}_k\right|^p<\infty$ ，从而

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|T_n x-\theta x\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|T_n x\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=n+1}^{\infty}\left|\xi_k\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}=0
$$

（2）$T_n$ 不依范数收敛到 $\theta$ ．
取 $y_n=\{0, \cdots, 0$ ，$\underset{\text { 第 } n+1 \text { 位 }}{1}, \cdots\}$ ，则 $\left\|y_n\right\|=1, T_n y_n=\{1,0, \cdots\}$ ，故

$$
\left\|T_n-\theta\right\|=\left\|T_n\right\|=\sup _{x \in S(X)}\left\|T_n x\right\| \geq\left\|T_n y_n\right\|=1
$$

从而，$T_n$ 不依范数收敛到 $\theta$ ．实际上，结合上面证明有 $\left\|T_n\right\|=1$ ．
定理 4．1．3．设 $X$ 为赋范线性空间，$Y$ 为 Banach 空间，则 $L(X, Y)$ 是 Banach 空间。
证明 设 $\left\{T_n\right\} \subset L(X, Y)$ 为柯西列，则对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $N \in N$ ，当 $n, m \geq N$ 时，有 $\left\|T_n-T_m\right\|<\varepsilon$ ．
（1）找到极限点。对每一个 $\forall x \in X$ ，当 $n, m \geq N$ 时，有
$$
\left\|T_n x-T_m x\right\|=\left\|\left(T_n-T_m\right) x\right\| \leq\left\|T_n-T_m\right\|\|x\|<\|x\| \cdot \varepsilon
$$

这说明对每一个 $x \in X,\left\{T_n x\right\}_{n=1}^{\infty}$ 是 $Y$ 中的柯西列。由 $Y$ 完备，则存在 $y_x \in Y$ 使得 $T_n x \rightarrow y_x,(n \rightarrow \infty)$ ．定义 $T: X \rightarrow Y$ 为

$$
T x=y_x=\lim _{n \rightarrow \infty} T_n x, \quad x \in X
$$

（2）验证 $T \in L(X, Y)$ ．由于对 $\forall x \in X$ 有

$$
\left\|T_n x-T_m x\right\|<\varepsilon\|x\|, \quad n, m \geq N
$$

令 $m \rightarrow \infty$ 可得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|T_n x-T_m x\right\| \leq \varepsilon\|x\|, \quad n \geq N
$$

又注意到范数的连续性，有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|T_n x-T_m x\right\|=\left\|T_n x-\lim _{m \rightarrow \infty} T_m x\right\|=\left\|T_n x-T x\right\|=\left\|\left(T_n-T\right) x\right\|
$$

从而，当 $n \geq N$ 时有

$$
\left\|\left(T_n-T\right) x\right\| \leq \varepsilon\|x\|, \quad \forall x \in X
$$

于是，$\left\|T_n-T\right\| \leq \varepsilon$ ，这就蕴含了 $T_n-T \in L(X, Y)$ ，因此，$T=T_n-\left(T_n-T\right) \in$ $L(X, Y)$ ．
（3）验证 $\left\|T_n-T\right\| \rightarrow 0$ ．由于

$$
\left\|T_n-T\right\|=\sup _{x \in S(X)}\left\|\left(T_n-T\right) x\right\| \leq \sup _{x \in S(X)} \varepsilon\|x\|=\varepsilon, \quad n \geq N
$$

故 $\left\|T_n-T\right\| \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$ ．
注 4．1．4．设 $X$ 为贱范线性空间， $K = R$ 或 $C$ ．则 $L(X, K )$ 表示 $X$ 上的有界线性泛函的全体。由于 $K$ 完备，故由定理 4．1．3知，$L(X, K )$ 是 Banach 空间。

记 $X^*=L(X, K )$ 称为 $X$ 的共轭空间 ${ }^1$ 。
四．算子乘法与 Banach 代数
设 $T_1, T_2 \in L(X)$ ，定义算子乘法：

$$
\left(T_1 T_2\right)(x)=T_1\left(T_2 x\right), \quad \forall x \in X
$$

$$
\begin{aligned}
& \left(T_1 T_2\right) T_3=T_1\left(T_2 T_3\right) \\
& \left(k T_1\right) T_2=k\left(T_1 T_2\right)=T_1\left(k T_2\right)
\end{aligned}
$$

（ii）（分配律）

$$
\begin{aligned}
& T_1\left(T_2+T_3\right)=T_1 T_2+T_1 T_3 \\
& \left(T_1+T_2\right) T_3=T_1 T_3+T_1 T_2
\end{aligned}
$$

空间 $(L(X),+, \cdot, \times)$ 是完备的，称为 Banach 代数。

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