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二次共轭与自反

三．二次共轭与自反
定义 5．2．2．设 $X$ 为赋范线性空间，则 $X^*$ 是 Banach 空间，定义 $X^{* *}=\left(X^*\right)^*$ 称为 $X$ 的二次共轭空间。

由例 5．2．2 和 5．2．3 可知

$$
\begin{gathered}
L^p[a, b]^{* *}=\left(L^p[a, b]^*\right)^*=L^q[a, b]^*=L^p[a, b] \\
\left(\ell^p\right)^{* *}=\left(\left(\ell^p\right)^*\right)^*=\left(\ell^q\right)^*=\ell^p
\end{gathered}
$$

那么，对于一般 Banach 空间，$X$ 与 $X^*$ 有什么关系？

定义 5．2．3．设 $X$ 为 Banach 空间，定义映射 $J: X \rightarrow X^{* *}$ 为

$$
J(x)=J_x, \quad \forall x \in X
$$

其中，$J_x$ 满足

$$
J_x(f)=f(x), \quad \forall f \in X^*
$$

则称 $J$ 为从 $X$ 到 $X^{* *}$ 的自然映射 ${ }^5$ 。
注 5．2．3．对每一个 $x \in X$ ，都有 $J_x$ 是 $X^*$ 上的有界线性泛函，即 $J_x \in X^{* *}$ ．
证明 对任意给定的 $x \in X$ ，对 $\forall f, g \in X^*, k \in K$ ，有

$$
J_x(k f+g)=(k f+g)(x)=k f(x)+g(x)=k J_x(f)+J_x(g)
$$

故 $J_x$ 是 $X^*$ 上的线性泛函。又

$$
\left|J_x(f)\right|=|f(x)| \leq\|x\|\|f\|, \quad \forall f \in X^*
$$

从而，$\left\|J_x\right\| \leq\|x\|$ ，因此，$J_x$ 有界。

命题 5．2．1．自然映射 $J$ 是从 $X$ 到 $X^{* *}$ 的线性等距映射。
证明 对 $\forall x, y \in X, k \in K$ ，有 $J(k x+y)=J_{k x+y}$ ．又对 $\forall f \in X^*$ 有

$$
J_{k x+y}(f)=f(k x+y)=k f(x)+f(y)=k J_x(f)+J_y(f)=\left(k J_x+J_y\right)(f)
$$

故 $J_{k x+y}=k J_x+J_y$ ．从而，$J$ 是线性的。
由注 5．2．3 的证明知，$\left\|J_x\right\| \leq\|x\|$ ．另一方面，由 Hahn－Banach 定理推论，对 $\forall x \in X$ ，存在 $f_0 \in S\left(X^*\right)$ 使得 $f_0(x)=\|x\|$ ．于是

$$
\left\|J_x\right\|=\sup _{f \in S\left(X^*\right)}\left|J_x(f)\right| \geq\left|J_x\left(f_0\right)\right|=\left|f_0(x)\right|=\|x\|
$$

因此，$\left\|J_x\right\|=\|x\|$ ．
注 5．2．4．该命题表明 $X$ 与 $X^{* *}$ 的一个闭子空间等距同构，或者说 $X$ 可等距同构嵌入到 $X^{* *}$ 。于是，在等距同构意义下，可表示为 $X \subset X^{* *}$ 。

定义 5．2．4．若从 $X$ 到 $X^{* *}$ 的自然映射是满射，即 $X=X^{* *}$ ，则称 $X$ 是自反的。
由前面共轭空间例的结论易知：Hilbert 空间， $R ^n, L^p[a, b], \ell^p,(1<p<\infty)$ 都自反，$c_0, \ell^1, L^1[a, b], C[a, b]$ 不自反。

定理 5．2．2．自反空间的闭子空间是自反的。

证明 设 $X$ 自反，$X_0 \subset X$ 为闭子空间，$J_0: X_0 \rightarrow X_0^{* *}$ 为自然映射。对 $\forall x_0^{* *} \in X_0^{* *}$ ，以及 $\forall f \in X^*$ ，记 $f$ 在 $X_0$ 上的限制为 $\left.f\right|_{X_0}$ ，则 $\left.f\right|_{X_0} \in X_0^*$ 。令

$$
x^{* *}(f)=x_0^{* *}\left(\left.f\right|_{X_0}\right)
$$

则 $x^{* *} \in X^{* *}$ ．由于 $X$ 自反，故存在 $x \in X$ ，使得 $J(x)=x^{* *}$ ．
下面证明 $x \in X_0$ ．若不然，$X_0$ 是闭子空间，$x \notin X_0$ ，则由推论 5．1．2 知，存在 $f \in X^*$ ，使得

$$
f(x)=d\left(x, X_0\right)>0, \quad f(y)=0, \forall y \in X_0
$$

于是

$$
d\left(x, X_0\right)=f(x)=x^{* *}(f)=x_0^{* *}\left(\left.f\right|_{X_0}\right)=0
$$

矛盾。由此，将该 $x$ 记为 $x_0$ ．
对 $\forall f_0 \in X_0^*$ ，将 $f_0$ 延拓到 $X$ 上，记为 $F$ ，则 $\left.F\right|_{X_0}=f_0$ ．则有

$$
f_0\left(x_0\right)=F(x)=x^{* *}(F)=x_0^{* *}\left(\left.F\right|_{X_0}\right)=x_0^{* *}\left(f_0\right)
$$

综上，对每一个 $x_0^{* *}$ ，都存在 $x_0 \in X_0$ ，按自然映射的方式对应，故 $X_0$ 自反。
定理 5．2．3．设 $X$ 为 Banach 空间，则下列条件等价：

（i）$X$ 自反；
（ii）$X^*$ 自反；
（iii）$B(X)$ 是弱自列紧的；
（iv）$X$ 中任意有界序列必有弱收敛子列；
（v）任意的 $f \in X^*$ 在 $S(X)$ 上都是范数可达的，即存在 $x \in S(X)$ 使得 $\|f\|=$ $f(x)$ ；
（vi）对任意的有界闭凸子集 $C \subset X$ ，以及 $f \in X^*$ ，都存在 $x \in C$ 使得

$$
f(x)=\sup \{f(y): y \in C\}
$$

（vii）（非空交性质）对任意递减的 $X$ 的非空有界闭凸集列 $\left\{B_n\right\}$ ，都有 $\bigcap_{n=1}^{\infty} B_n \neq \varnothing$ ．
证明 只给出部分证明。容易验证（iii）和（iv）等价，（v）和（vi）等价；（i）$\Rightarrow$（iv）见定理 5．5．5；
（i）$\Rightarrow( v )$ ．对 $\forall f \in X^*$ ，由 Hahn－Banach 定理推论，存在 $x^{* *} \in S\left(X^{* *}\right)$ ，使得 $x^{* *}(f)=\|f\|$ ，又 $X$ 自反，则存在 $x \in S(X)$ 按自然映射与 $x^{* *}$ 对应，从而

$$
f(x)=x^{* *}(f)=\|f\|
$$

（v）$\Rightarrow$（i）是著名的 James 定理。
定理 5．2．4．一致凸 Banach 空间是自反的。

证明 设 $X$ 为一致凸 Banach 空间，下面证明 $X$ 具有非空交性质。
设 $\left\{K_n\right\}$ 为 $X$ 中递减的非空有界闭凸集列，由命题2．3．2，对每个 $n \in N$ ，可取到 $x_n \in K_n$ 满足

$$
\left\|x_n\right\|=\inf \left\{\|x\|: x \in K_n\right\}
$$

由于 $\left\{K_n\right\}$ 是递减集列，故 $\left\{\left\|x_n\right\|\right\}$ 是非降数列。注意到 $K_1$ 有界，又有

$$
\left\|x_n\right\| \leq \sup \left\{\|x\|: x \in K_1\right\}<+\infty, \quad \forall n \in N
$$

从而由单调有界原理，$\left\{\left\|x_n\right\|\right\}$ 收敛，记 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n\right\|=r$ ．
对 $m \geq n$ ，有 $\frac{x_n+x_m}{2} \in K_n$ ，故

$$
\left\|x_n\right\| \leq\left\|\frac{x_n+x_m}{2}\right\| \leq \frac{\left\|x_n\right\|+\left\|x_m\right\|}{2} \leq r
$$

令 $n \rightarrow \infty$ ，可得

$$
\lim _{n, m \rightarrow \infty}\left\|\frac{x_n+x_m}{2}\right\|=r
$$

另一方面，由凸性模 $\delta_X(\cdot)$ 的定义有

$$
\left\|\frac{x_n+x_m}{2}\right\| \leq\left(1-\delta_X\left(\frac{\left\|x_n-x_m\right\|}{r}\right)\right) r
$$

从而

$$
\lim _{n, m \rightarrow \infty} \delta_X\left(\frac{\left\|x_n-x_m\right\|}{r}\right)=0
$$

进而由 $X$ 一致凸，可得 $\lim _{n, m \rightarrow \infty}\left\|x_n-x_m\right\|=0$ ．这说明 $\left\{x_n\right\}$ 是 Cauchy 列，因此， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x$ ，且 $x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} K_n$ ．

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