最后更新: 2025-04-27 21:47 查看: 23 次纠错评论(0) 课件开VIP

弱收敛

5.4 弱收敛

定义 5．4．1．设 $X$ 为赋范线性空间，$\left\{x_n\right\} \subset X$ ，若对 $\forall f \in X^*$ 都有

$$
f\left(x_n\right) \rightarrow f(x), \quad n \rightarrow \infty
$$

则称 $x_n$ 弱收敛到 $x$ ，记为 $x_n \xrightarrow{w} x$ ．此时，也称 $x$ 为 $\left\{x_n\right\}$ 的弱极限。
注 5．4．1．弱极限若存在，必唯一。
证明 设 $x_n \xrightarrow{w} x_0, x_n \xrightarrow{w} y_0$ ，则对 $\forall f \in X^*$ ，有

$$
f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right), \quad f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(y_0\right), \quad n \rightarrow \infty
$$

由数列极限的唯一性知 $f\left(x_0\right)=f\left(y_0\right)$ ．再由 Hahn－Banach 定理推论的注，$x_0=y_0$ ．

证明 设 $x_n \xrightarrow{\|\cdot\|} x$ ，即 $\left\|x_n-x\right\| \rightarrow 0$ ．则对 $\forall f \in X^*$ ，有

故 $f\left(x_n\right) \rightarrow f(x)$ ，从而 $x_n \xrightarrow{w} x$ ．
例 5．4．1．（弱收敛但不依范数收敛的例）考虑 $\ell^p$ 空间，$\left\{e_n\right\} \subset \ell^p$ ，其中

$$
e_n=\{0, \cdots, 0, \underset{\text { 第 } n \text { 位 }}{1}, 0, \cdots\}
$$

则对 $\forall y=\left\{\eta_n\right\} \in \ell^q=\left(\ell^p\right)^*$ ，有 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|\eta_n\right|^q<\infty$ ，故 $\eta_n \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$ ，从而

$$
y\left(e_n\right)=\sum_{k=1}^{\infty} \eta_k e_n(k)=\eta_n \rightarrow 0=y(\theta), \quad n \rightarrow \infty
$$

这说明 $e_n \xrightarrow{w} \theta$ ．但

$$
\left\|e_n-\theta\right\|=\left\|e_n\right\|=1
$$

故 $e_n$ 不依范数收敛到 $\theta$ ．

证明 设 $x_n \xrightarrow{\|\cdot\|} x$ ，即 $\left\|x_n-x\right\| \rightarrow 0$ ．则对 $\forall f \in X^*$ ，有

$$
e_n=\{0, \cdots, 0, \underset{\text { 第 } n \text { 位 }}{1}, 0, \cdots\}
$$

则对 $\forall y=\left\{\eta_n\right\} \in \ell^q=\left(\ell^p\right)^*$ ，有 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|\eta_n\right|^q<\infty$ ，故 $\eta_n \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$ ，从而

$$
y\left(e_n\right)=\sum_{k=1}^{\infty} \eta_k e_n(k)=\eta_n \rightarrow 0=y(\theta), \quad n \rightarrow \infty
$$

这说明 $e_n \xrightarrow{w} \theta$ ．但

$$
\left\|e_n-\theta\right\|=\left\|e_n\right\|=1
$$

故 $e_n$ 不依范数收敛到 $\theta$ ．

即

$$
\xi_k^{(i)} \rightarrow \xi_k^{(0)}, \quad i \rightarrow \infty
$$

这表明 $x_i$ 依坐标收敛到 $x_0$ 。从而

$$
\left\|x_i-x_0\right\|=\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k^{(i)}-\xi_k^{(0)}\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \rightarrow 0, \quad i \rightarrow \infty
$$

因此，$x_i \xrightarrow{\|\cdot\|} x_0$ ．
命题 5．4．3．弱收敛点列必有界。
证明 设 $x_n \xrightarrow{w} x_0$ ．则对 $\forall f \in X^*$ ，有

$$
f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right), \quad n \rightarrow \infty
$$

由于 $X \subset X^{* *}$ ，将 $x_n$ 看作是 $X^{* *}$ 中的元，则

$$
x_n(f) \rightarrow x_0(f), \quad n \rightarrow \infty
$$

又收敛数列有界，故 $\sup _n\left|x_n(f)\right|<+\infty$ ，再由一致有界原理知，$\left\{\left\|x_n\right\|\right\}$ 有界。

即

$$
\xi_k^{(i)} \rightarrow \xi_k^{(0)}, \quad i \rightarrow \infty
$$

这表明 $x_i$ 依坐标收敛到 $x_0$ 。从而

$$
\left\|x_i-x_0\right\|=\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k^{(i)}-\xi_k^{(0)}\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \rightarrow 0, \quad i \rightarrow \infty
$$

因此，$x_i \xrightarrow{\|\cdot\|} x_0$ ．
命题 5．4．3．弱收敛点列必有界。
证明 设 $x_n \xrightarrow{w} x_0$ ．则对 $\forall f \in X^*$ ，有

$$
f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right), \quad n \rightarrow \infty
$$

由于 $X \subset X^{* *}$ ，将 $x_n$ 看作是 $X^{* *}$ 中的元，则

$$
x_n(f) \rightarrow x_0(f), \quad n \rightarrow \infty
$$

又收敛数列有界，故 $\sup _n\left|x_n(f)\right|<+\infty$ ，再由一致有界原理知，$\left\{\left\|x_n\right\|\right\}$ 有界。

故对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，当 $n \geq N$ 时，有

$$
f\left(x_0\right)-\varepsilon<f\left(x_n\right)
$$

由 Hahn－Banach 定理推论，存在 $f_0 \in S\left(X^*\right)$ 使得 $f_0\left(x_0\right)=\left\|x_0\right\|$ ．从而，当 $n \geq N$ 时有

由 $\varepsilon$ 的任意性知，$\left\|x_0\right\| \leq\left\|x_n\right\|,(n \geq N)$ ．因此，$\left\|x_0\right\| \leq \liminf _{n \rightarrow \infty}\left\|x_n\right\|$ ．
定理 5．4．2．（Mazur 定理）设 $X$ 为赋范线性空间，若 $x_n \xrightarrow{w} x_0$ ，则 $x_0 \in \overline{\operatorname{co}\left\{x_n\right\}}$ ．
证明 设 $x_n \xrightarrow{w} x_0$ ，则对 $\forall f \in X^*$ ，有

$$
f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right), \quad n \rightarrow \infty
$$

假设 $x_0 \in \overline{\operatorname{co}\left\{x_n\right\}}$ ，则由凸集分离定理，存在 $f_0 \in X^*$ 及 $r \in R$ 使得

$$
f_0(y)<r<f_0\left(x_0\right), \quad \forall y \in \overline{\operatorname{co}\left\{x_n\right\}}
$$

特别地，

$$
f_0\left(x_n\right)<r<f_0\left(x_0\right), \quad \forall n \in N
$$

这与 $f_0\left(x_n\right) \rightarrow f_0\left(x_0\right)$ 矛盾。

推论 5．4．1．设 $X$ 为赋范线性空间，$A \subset X$ 为有界凸集，则 $\bar{A}=\overline{A^w}$ ．
证明 显然有， $\bar{A} \subset \overline{A^w}$ ．反之，设 $x \in \overline{A^w}$ ，则存在 $\left\{x_n\right\} \subset A$ 使得，$x_n \xrightarrow{w} x$ ，再由 Mazur 定理知，$x \in \overline{\operatorname{co}\left\{x_n\right\}}$ ．又 $A$ 凸，故 $\operatorname{co}\left\{x_n\right\} \subset A$ ，从而 $\overline{\operatorname{co}\left\{x_n\right\}} \subset \bar{A}$ ．于是， $x \in \bar{A}$ ．这表明，$\overline{A^w} \subset \bar{A}$ ．

定理 5．4．3．$C[a, b]$ 中，$x_n \xrightarrow{w} x_0$ ，当且仅当
（i）$\left\{\left\|x_n\right\|\right\}$ 有界；
（ii）$x_n(t) \rightarrow x_0(t), \forall t \in[a, b]$ ．
证明

定理 5．4．4．$L^p[a, b],(1<p<\infty)$ 中，$x_n \xrightarrow{w} x_0$ ，当且仅当
（i）$\left\{\left\|x_n\right\|\right\}$ 有界；
（ii） $\int_a^t x_n(\tau) d \tau \rightarrow \int_a^t x_0(\tau) d \tau, \forall t \in[a, b]$ ．
证明
命题 5．4．1．依范数收敛 $\Rightarrow$ 弱收敛。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：共轭算子

下一篇：弱*收敛

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)