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紧算子与紧算子的谱

6.3 紧算子与紧算子的谱

一．紧算子相关概念
紧算子在积分方程，数学物理方程等学科中具有重要应用。
定义 6．3．1．设 $X, Y$ 为 Banach 空间，$T: X \rightarrow Y$ 为线性算子，若 $T$ 将 $X$ 中任意有界集映射为 $Y$ 中的相对紧集，则称 $T$ 为紧算子。从 $X$ 到 $Y$ 的紧算子的全体，记为 $K(X, Y)$ ．

注 6．3．1．$T$ 为紧算子 $\Leftrightarrow$ 对任意有界点列 $\left\{x_n\right\}$ ，都有 $\left\{T x_n\right\}$ 含有收敛子列。
由于相对紧集是有界集，故紧算子是有界线性算子，即 $K(X, Y) \subset L(X, Y)$ ．
命题 6．3．1．$K(X, Y)$ 是 $L(X, Y)$ 的闭线性子空间。
证明（1）若 $T_1, T_2 \in K(X, Y), \alpha \in \boxtimes$ 由定义易知 $\alpha T_1+T_2 \in K(X, Y)$ ．故 $K(X, Y)$ 是线性子空间。
（2）任取 $B \subset X$ 有界，则存在 $M>0$ 使得 $\|x\| \leq M, \forall x \in B$ ．设 $\left\{T_n\right\} \subset$ $K(X, Y)$ ，满足 $T_n \xrightarrow{\|\cdot\|} T$ ．则对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $n_0 \in N$ ，使得

$$
\left\|T_{n_0}-T\right\|<\frac{\varepsilon}{3 M}
$$

由 $T_{n_0}$ 是紧算子，则 $\overline{T_{n_0}(B)}$ 是 $Y$ 中的紧集（自列紧），从而全有界。取 $\overline{T_{n_0}(B)}$ 的 $\frac{\varepsilon}{3}$－网，记为 $\left\{y_1, \cdots, y_m\right\}$ ，则

$$
\overline{T_{n_0}(B)} \subset \bigcup_{i=1}^m U\left(y_i, \frac{\varepsilon}{3}\right)
$$

$$
\left\|y-T x_0\right\|<\frac{\varepsilon}{3}
$$

又 $T_{n_0} x_0 \in \overline{T_{n_0}(B)}$ ，故存在 $i_0 \in\{1, \cdots, m\}$ ，使得

$$
\left\|T_{n_0} x_0-y_{i_0}\right\|<\frac{\varepsilon}{3}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
\left\|y-y_{i_0}\right\| & \leq\left\|y-T x_0\right\|+\left\|T x_0-T_{n_0} x_0\right\|+\left\|T_{n_0} x_0-y_{i_0}\right\| \\
& <\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3 M} \cdot M+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon
\end{aligned}
$$

这说明 $\left\{y_1, \cdots, y_m\right\}$ 是 $\overline{T(B)}$ 的有限 $\varepsilon$－网，从而 $\overline{T(B)}$ 是紧集。因此，$T$ 是紧算子，即 $T \in K(X, Y)$ 。

定义6．3．2．设 $X, Y$ 为赋范线性空间，$T \in L(X, Y)$ ，若 $\operatorname{dim} T(X)<+\infty$ ，则称 $T$ 为有限秩算子。

例 6．3．1．有限秩算子是紧算子，特别地，从有限维空间到有限维空间的线性算子是紧算子。

证明 设 $T$ 为有限秩算子，$B \subset X$ 有界，则 $T(B)$ 有界，故 $\overline{T(B)}$ 为有界闭集，又 $R(T)$ 是有限维，故 $\overline{T(B)}$ 是紧集。因此，$T \in K(X, Y)$ 。

例 6．3．2．第一型 Fredholm 积分算子：$T: C[a, b] \rightarrow C[a, b]$ 为

$$
(T x)(t)=\int_a^b k(t, s) x(s) d s, \quad \forall x \in C[a, b]
$$

其中，$k(t, s)$ 为 $[a, b] \times[a, b]$ 上的二元连续函数，则 $T$ 是紧算子。
证明 设 $B \subset C[a, b]$ 为有界集，则存在 $M>0$ 使得 $\|x\| \leq M, \forall x \in B$ ．令

$$
K=\max \{|k(t, s)|:(t, s) \in[a, b] \times[a, b]\}
$$

则对 $\forall T x \in T(B)$ ，都有

$$
\begin{aligned}
\|T x\| & =\max _{t \in[a, b]}\left|\int_a^b k(t, s) x(s) d s\right| \leq \max _{t \in[a, b]}\left|\int_a^b\right| k(t, s) x(s) \mid d s \\
& \leq K \max _{s \in[a, b]}|x(s)| \cdot(b-a) \leq K(b-a)\|x\| \leq K M(b-a)
\end{aligned}
$$
故 $T(B)$ 有界，从而一致有界。
又由于 $k(t, s)$ 在 $[a, b] \times[a, b]$ 上连续，从而一致连续，故对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $t_1, t_2 \in[a, b],\left|t_1-t_2\right|<\delta$ 时，有

$$
\left|k\left(t_1, s\right)-k\left(t_2, s\right)\right|<\frac{\varepsilon}{M(b-a)}
$$

从而，对 $\forall T x \in T(B)$ ，都有

$$
\begin{aligned}
\left|(T x)\left(t_1\right)-(T x)\left(t_2\right)\right| & \leq \int_a^b\left|k\left(t_1, s\right)-k\left(t_2, s\right)\right||x(s)| d s \\
& \leq \frac{\varepsilon}{M(b-a)} \cdot \max _{s \in[a, b]}|x(s)| \cdot(b-a) \\
& <\frac{\varepsilon}{M(b-a)} \cdot\|x\| \cdot(b-a) \\
& \leq \frac{\varepsilon}{M(b-a)} \cdot M \cdot(b-a) \\
& =\varepsilon
\end{aligned}
$$

这说明 $T(B)$ 等度连续。再由 Arzela－Ascoli 定理，$T(B)$ 是 $C[a, b]$ 中的紧集。因此，$T$ 是紧算子。

定理 6．3．1．若 $T$ 是紧算子，则 $T$ 是强连续的，即

$$
x_n \xrightarrow{w} x \quad \Rightarrow \quad T x_n \xrightarrow{\|\cdot\|} T x
$$

反过来，若 $X$ 自反，$T$ 强连续，则 $T$ 是紧算子。
证明（1）设 $T$ 是紧算子，$x_n \xrightarrow{w} x$ ，往证 $T x_n \xrightarrow{\|\cdot\|} T x$ ．若不然，则存在 $\varepsilon_0>0$ ，及子列 $\left\{x_{n_k}\right\} \subset\left\{x_n\right\}$ 使得

$$
\left\|T x_{n_k}-T x\right\| \geq \varepsilon_0, \quad \forall k \in N
$$

由于 $x_n \xrightarrow{w} x$ ，故 $\left\{x_n\right\}$ 有界，又 $T$ 是紧算子，故 $\left\{T x_{n_k}\right\}$ 存在收敛子列，不妨仍记为 $T x_{n_k} \xrightarrow{\|\cdot\|} y,(k \rightarrow \infty)$ ．又由于

$$
y^*\left(T x_{n_k}-T x\right)=\left(T^* y^*\right)\left(x_{n_k}-x\right) \rightarrow 0, \quad k \rightarrow \infty \quad \forall y^* \in Y^*
$$

故 $T x_{n_k} \xrightarrow{w} T x$ ．从而由弱极限的唯一性知，$y=T x$ 。于是，$T x_{n_k} \xrightarrow{\|\cdot\|} T x,(k \rightarrow \infty)$ ，矛盾。
（2）设 $\left\{x_n\right\} \subset X$ 有界，由于 $X$ 自反，由定理5．2．3（iv）知，存在子列 $x_{n_k} \xrightarrow{w} x,(k \rightarrow$ $\infty$ ）．再由 $T$ 强连续得 $T x_{n_k} \xrightarrow{\|\cdot\|} T x,(k \rightarrow \infty)$ ．因此，$T$ 是紧算子。

推论 6．3．1．在 Hilbert 空间，$T$ 是紧算子 $\Leftrightarrow T$ 强连续。

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