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具有 Dirichlet 边值条件的混合问题

1.1 具有 Dirichlet 边值条件的混合问题

在这一节中我们将以弦振动方程为例介绍如何用分离变量法求解具有 Dirichlet边值条件的混合问题，这一方法对于具有 Dirichlet 边值条件的其他类型方程的混合问题的求解也是适用的．

考虑具有 Dirichlet 边值条件的弦振动方程的如下混合问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 u_{x x}=0, \quad 0<x<l, \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x), \quad 0 \leqslant x \leqslant l, \\
\left.u\right|_{x=0}=0,\left.\quad u\right|_{x=l}=0, \quad t \geqslant 0,
\end{array}\right.
$$

其中 $\varphi(0)=\varphi(l)=0, \psi(0)=\psi(l)=0$ 是相容性条件．
下面我们用分离变量法来求解混合问题（1．1）—（1．3）．首先，我们设法找到所有具有变量分离形式

$$
u(x, t)=X(x) T(t)
$$

的非零特解．
将（1．4）式代入方程（1．1），有

$$
X(x) T^{\prime \prime}(t)=a^2 X^{\prime \prime}(x) T(t),
$$

此处 $X(x) T(t) \neq 0$ ，分离变量即得

$$
\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=\frac{1}{a^2} \frac{T^{\prime \prime}(t)}{T(t)}
$$

因为等式（1．5）的左端仅与 $x$ 有关，右端仅与 $t$ 有关，因此存在常数 $\lambda$ 使得

$$
\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=\frac{1}{a^2} \frac{T^{\prime \prime}(t)}{T(t)}=-\lambda
$$

于是得到变量被分离后的两个常微分方程

$$
\begin{aligned}
& X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0 \\
& T^{\prime \prime}(t)+\lambda a^2 T(t)=0
\end{aligned}
$$

现在我们可以通过解这两个常微分方程来定出函数 $X(x)$ 和 $T(t)$ ，由边值条件 （1．3）得

$$
u(0, t)=X(0) T(t)=0
$$

$$
u(l, t)=X(l) T(t)=0 .
$$

由于我们所要求的 $u(x, t)$ 是非零解，故 $T(t) \not \equiv 0$ ，从而推知函数 $X(x)$ 应满足附加条件

$$
X(0)=0, \quad X(l)=0 .
$$

于是，我们需要求解如下边值问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0, \quad 0<x<l, \\
X(0)=X(l)=0 .
\end{array}\right.
$$

为此，我们首先给出如下定义：
定义 3.1 使常微分方程边值问题（1．9）具有非平凡解的那些 $\lambda$ 值称为这个边值问题的特征值；相应的非平凡解 $X(x)$ 称为对应于这个特征值的特征函数；寻找边值问题（1．9）的所有特征值和特征函数的问题称为特征值问题或 Sturm－ Liouville（施图姆－刘维尔）问题．

下面我们分三种情形讨论 Sturm－Liouville 问题（1．9）的求解：
（1）当 $\lambda<0$ 时，方程（1．6）的通解为
$$
X(x)=c_1 e^{\sqrt{-\lambda} x}+c_2 e^{-\sqrt{-\lambda} x},
$$

其中 $c_1, c_2$ 是任意常数，要使它满足边值条件（1．8），就必须有

$$
\left\{\begin{array}{l}
c_1+c_2=0, \\
c_1 e^{\sqrt{-\lambda l}}+c_2 e^{-\sqrt{-\lambda l}}=0 .
\end{array}\right.
$$

由此解得 $c_1=c_2=0$ ，从而 $X(x) \equiv 0$ ．此时特征值问题（1．9）没有非平凡解．
（2）当 $\lambda=0$ 时，方程（1．6）的通解为

$$
X(x)=c_1+c_2 x,
$$

由边值条件（1．8）得

$$
c_1=0, \quad c_1+c_2 l=0,
$$

所以 $c_1=c_2=0$ ，从而 $X(x) \equiv 0$ ．此时，特征值问题（1．9）也没有非平凡解．
（3）当 $\lambda>0$ 时，方程（1．6）的通解为

$$
X(x)=c_1 \cos \sqrt{\lambda} x+c_2 \sin \sqrt{\lambda} x,
$$

要使它满足边值条件（1．8），必须

$$
c_1=0, \quad c_1 \cos \sqrt{\lambda} l+c_2 \sin \sqrt{\lambda} l=0
$$

由这两个等式推得

$$
c_2 \sin \sqrt{\lambda} l=0
$$

如果 $c_2=0$ ，那么 $X(x) \equiv 0$ ，因此为了获得非平凡解，必须要求 $c_2 \neq 0$ ，且

$$
\sin \sqrt{\lambda} l=0
$$

即

$$
\sqrt{\lambda}=\frac{k \pi}{l}
$$

其中 $k$ 是一个任意的正整数．所以，只有当 $\lambda$ 取值为

$$
\lambda_k=\left(\frac{k \pi}{l}\right)^2, \quad k=1,2, \cdots
$$

时，特征值问题（1．9）才有非平凡解，这些离散的 $\lambda_k$ 就是特征值问题（1．9）的特征值，与这些特征值 $\lambda_k$ 相对应的函数

$$
X_k(x)=c_k \sin \frac{k \pi x}{l}, \quad k=1,2, \cdots
$$

就是特征值 $\lambda_k$ 所对应的特征函数．
对于 $\lambda_k$ ，方程（1．7）的通解可写成

$$
T_k(t)=a_k \cos \frac{k \pi a}{l} t+b_k \sin \frac{k \pi a}{l} t, \quad k=1,2, \cdots,
$$

其中 $a_k$ 和 $b_k$ 都是任意常数，于是对任意的 $A_k=c_k a_k$ 和 $B_k=c_k b_k$ ，函数

$$
u_k(x, t)=X_k(x) T_k(t)=\left(A_k \cos \frac{k \pi a}{l} t+B_k \sin \frac{k \pi a}{l} t\right) \sin \frac{k \pi x}{l}
$$

满足方程（1．1）和边值条件（1．3）．
由于方程（1．1）和边值条件（1．3）都是线性齐次的，根据叠加原理，任何有限个 $u_k(x, t)$ 的线性组合也满足方程（1．1）和边值条件（1．3）．考虑无穷级数

$$
u(x, t)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(A_k \cos \frac{k \pi a}{l} t+B_k \sin \frac{k \pi a}{l} t\right) \sin \frac{k \pi}{l} x,
$$

由级数理论知，当级数（1．12）及它对 $x$ 和 $t$ 逐项微分两次后所得的级数都一致收玫时，其和函数 $u(x, t)$ 将仍是方程（1．1）满足边值条件（1．3）的解．现在的问题是
设法确定常数 $A_k$ 和 $B_k$ 使级数（1．12）及它对 $x$ 和 $t$ 逐项微分两次后所得的级数都一致收玫，且和函数满足初值条件（1．2）．

这里先对级数（1．12）关于 $t$ 形式求导，得

$$
\frac{\partial u}{\partial t}(x, t)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k \pi a}{l}\left(-A_k \sin \frac{k \pi a}{l} t+B_k \cos \frac{k \pi a}{l} t\right) \sin \frac{k \pi}{l} x .
$$

利用初值条件（1．2），在（1．12）式和（1．13）式中令 $t=0$ 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
\varphi(x)=\sum_{k=1}^{\infty} A_k \sin \frac{k \pi}{l} x, \\
\psi(x)=\sum_{k=1}^{\infty} B_k \frac{k \pi a}{l} \sin \frac{k \pi}{l} x .
\end{array}\right.
$$

由此可知，如果函数 $\varphi(x)$ 和 $\psi(x)$ 在区间 $[0, l]$ 上都能展成 Fourier 正弦级数，那么系数 $A_k$ 和 $B_k$ 就可由下式确定：

$$
\left\{\begin{array}{l}
A_k=\frac{2}{l} \int_0^l \varphi(x) \sin \frac{k \pi x}{l} d x, \\
B_k=\frac{2}{k \pi a} \int_0^l \psi(x) \sin \frac{k \pi x}{l} d x .
\end{array}\right.
$$

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