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偏微分方程典型实例

§2 求 解 实 例

本节将通过几个实例介绍如何利用分离变量法求解偏微分方程的混合问题，这几个实例包含了波动方程，热传导方程和 Laplace 方程的求解，具有很好的代表性，希望通过这几个案例的学习，读者能真正掌握分离变量法的求解方法和求解步骤。

例 3.1 用分离变量法求解如下弦振动方程的混合问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-u_{x x}=0, \quad 0<x<1, \quad t>0,  ...(2.1)\\
\left.u\right|_{t=0}=\sin \frac{3}{2} \pi x,\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\sin \frac{5}{2} \pi x, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
\left.u\right|_{x=0}=0,\left.\quad u_x\right|_{x=1}=0, \quad t \geqslant 0 .
\end{array}\right.
$$

解 为了用分离变量法求解混合问题（2．1）－（2．3），我们先求方程 $(2.1)$ 满足边值条件（2．3）的具有如下变量分离形式的解：
 $$
u(x, t)=X(x) T(t) .
$$

将（2．4）式代入方程（2．1），得

$$
\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=\frac{T^{\prime \prime}(t)}{T(t)}=-\lambda,
$$

其中 $\lambda$ 是一个常数．于是得到

$$
X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0
$$

及

$$
T^{\prime \prime}(t)+\lambda T(t)=0 .
$$

由边值条件（2．3）可知

$$
X(0) T(t)=0, \quad X^{\prime}(1) T(t)=0 .
$$
于是

$$
X(0)=X^{\prime}(1)=0 .
$$

下面解特征值问题（2．5），（2．7）：
（1）当 $\lambda<0$ 时，方程（2．5）的通解为

$$
X(x)=c_1 e^{-\sqrt{-\lambda} x}+c_2 e^{\sqrt{-\lambda} x},
$$

代入边值条件得 $c_1=c_2=0$ ．这时特征值问题（2．5），（2．7）只有平凡解．
（2）当 $\lambda=0$ 时，方程（2．5）的通解为

$$
X(x)=c_1 x+c_2,
$$

代入边值条件得 $c_1=c_2=0$ ．这时特征值问题（2．5），（2．7）也只有平凡解．
（3）当 $\lambda>0$ 时，方程（2．5）的通解为

$$
X(x)=c_1 \cos \sqrt{\lambda} x+c_2 \sin \sqrt{\lambda} x
$$

代入边值条件得 $c_1=0, c_2 \sqrt{\lambda} \cos \sqrt{\lambda}=0$ ．于是求得特征值为

$$
\lambda_k=\left(k+\frac{1}{2}\right)^2 \pi^2, \quad k=0,1,2 \cdots .
$$

对应的特征函数为

$$
X_k(x)=c_k \sin \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi x, \quad k=0,1,2 \cdots .
$$

对特征值 $\lambda_k$ ，解方程（2．6）得

$$
T_k(t)=a_k \cos \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi t+b_k \sin \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi t
$$

其中 $a_k$ 和 $b_k$ 都是任意常数，于是对任意的 $A_k=c_k a_k$ 和 $B_k=c_k b_k$ ，函数

$$
u_k(x, t)=\left(A_k \cos \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi t+B_k \sin \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi t\right) \sin \left(k+v \frac{1}{2}\right) \pi x, \quad k=0,1,2 \cdots
$$

满足方程（2．1）和边值条件（2．3）．
作级数

$$
u(x, t)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(A_k \cos \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi t+B_k \sin \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi t\right) \sin \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi x .
$$

代入初值条件（2．2），得

$$
\sum_{k=0}^{\infty} A_k \sin \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi x=\sin \frac{3}{2} \pi x
$$

$$
\sum_{k=0}^{\infty} B_k\left(k+\frac{1}{2}\right) \pi \sin \left(k+\frac{1}{2}\right) \pi x=\sin \frac{5}{2} \pi x
$$

由此推出

$$
\begin{gathered}
A_0=0, \quad A_1=1, \quad A_2=A_3=\cdots=0 \\
B_0=B_1=0, \quad B_2=\frac{2}{5 \pi}, \quad B_3=B_4=\cdots=0
\end{gathered}
$$

所以混合问题 $(2.1)-(2.3)$ 的解为

$$
u(x, t)=\cos \frac{3}{2} \pi t \sin \frac{3}{2} \pi x+\frac{2}{5 \pi} \sin \frac{5}{2} \pi t \sin \frac{5}{2} \pi x .
$$

例 3.2 用分离变量法求解如下二维波动方程的混合问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=0, \quad 0<x<p, \quad 0 \leqslant y<q, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y), \quad 0 \leqslant x \leqslant p, \quad 0 \leqslant y \leqslant q \\
\left.u\right|_{x=0}=\left.u\right|_{x=p}=0, \quad 0 \leqslant y \leqslant q, \quad t \geqslant 0 \\
\left.u\right|_{y=0}=\left.u\right|_{y=q}=0, \quad 0 \leqslant x \leqslant p, \quad t \geqslant 0
\end{array}\right.
$$

其中 $a>0, p>0, q>0$ 为常数．
解 为了用分离变量法求解混合问题（2．8）－（2．11），我们先求满足边值条件 （2．10），（2．11）的方程（2．8）的具有如下变量分离形式的解：

$$
u(x, y, t)=v(x, y) T(t) ...(2.12)
$$

将（2．12）式代入方程（2．8），得

$$
\frac{v_{x x}+v_{y y}}{v(x, y)}=\frac{T^{\prime \prime}(t)}{a^2 T(t)}=-\mu
$$

其中 $\mu$ 为常数．于是得到

$$
v_{x x}+v_{y y}+\mu v=0
$$

及

$$
T^{\prime \prime}(t)+a^2 \mu T(t)=0
$$

此时边值条件（2．10），（2．11）变为

$$
\begin{cases}\left.v\right|_{x=0}=0, & \left.v\right|_{x=p}=0, \\ \left.v\right|_{y=0}=0, & \left.v\right|_{y=q}=0 .\end{cases}
$$

现在来求问题 $(2.13),(2.15)$ 的特征值和特征函数，为此，将方程（2．13）再进行变量分离，令

$$
v(x, y)=X(x) Y(y)
$$

将（2．16）式代入方程（2．13），得

$$
-\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=\frac{Y^{\prime \prime}(y)}{Y(y)}+\mu=\lambda
$$

其中 $\lambda$ 为常数．由此得到两个常微分方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0 \\
Y^{\prime \prime}(y)+(\mu-\lambda) Y(y)=0
\end{array}\right.
$$

由（2．16）式可知，边值条件（2．15）变为

$$
\begin{cases}X(0)=0, & X(p)=0 \\ Y(0)=0, & Y(q)=0\end{cases}
$$

由此我们得到两个特征值问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0 \\
X(0)=0, \quad X(p)=0
\end{array}\right.
$$

和

$$
\left\{\begin{array}{l}
Y^{\prime \prime}(y)+(\mu-\lambda) Y(y)=0 \\
Y(0)=0, \quad Y(q)=0
\end{array}\right.
$$

它们的特征值分别为 $\lambda_m=\left(\frac{m \pi}{p}\right)^2, m=1,2, \cdots ; \mu_{m, n}-\lambda_m=\left(\frac{n \pi}{q}\right)^2, n=$ $1,2, \cdots$ ，对应的特征函数为

$$
X_m(x)=\sin \frac{m \pi x}{p}, \quad Y_n(y)=\sin \frac{n \pi y}{q}, \quad m, n=1,2, \cdots
$$

由此可见问题（2．13），（2．15）的特征值为

$$
\mu_{m, n}=k_{m, n}^2=\left(\frac{m^2}{p^2}+\frac{n^2}{q^2}\right) \pi^2, \quad m, n=1,2, \cdots,
$$

其中 $k_{m, n}>0$ ，对应的特征函数为

$$
v_{m, n}(x, y)=\sin \frac{m \pi x}{p} \sin \frac{n \pi y}{q} .
$$

关于方程 $(2.14)$ ，我们知道对每一个特征值 $\mu_{m, n}=k_{m, n}^2$ ，它的通解具有形式

$$
T_{m, n}(t)=A_{m, n} \cos a k_{m, n} t+B_{m, n} \sin a k_{m, n} t
$$

其中 $A_{m, n}$ 和 $B_{m, n}$ 都是任意常数．

最后由 $(2.12),(2.23)$ 和 $(2.24)$ 三式知，方程 $(2.8)$ 满足边值条件 $(2.10),(2.11)$的解具有形式：

$$
u_{m, n}(x, y, t)=\left(A_{m, n} \cos a k_{m, n} t+B_{m, n} \sin a k_{m, n} t\right) \sin \frac{m \pi x}{p} \sin \frac{n \pi y}{q}, m, n=1,2, \cdots
$$

为了使它们满足初值条件（2．9），作级数

$$
\begin{aligned}
u(x, y, t) & =\sum_{m, n=1}^{\infty} u_{m, n}(x, y, t) \\
& =\sum_{m, n=1}^{\infty}\left(A_{m, n} \cos a k_{m, n} t+B_{m, n} \sin a k_{m, n} t\right) \sin \frac{m \pi x}{p} \sin \frac{n \pi y}{q}
\end{aligned}
$$

若级数（2．25）及它对 $x, y$ 和 $t$ 的二次逐项微分所得的级数都是一致收敛的，则其和函数显然满足方程（2．8）及边值条件（2．10），（2．11）。为了满足初值条件 （2．9），必须使

$$
\left\{\begin{array}{l}
\varphi(x, y)=\sum_{m, n=1}^{\infty} A_{m, n} \sin \frac{m \pi x}{p} \sin \frac{n \pi y}{q} \\
\psi(x, y)=\sum_{m, n=1}^{\infty} a k_{m, n} B_{m, n} \sin \frac{m \pi x}{p} \sin \frac{n \pi y}{q}
\end{array}\right.
$$

由此可知，如果函数 $\varphi(x, y)$ 和 $\psi(x, y)$ 都能展开成二重 Fourier 正弦级数，那么它们的系数 $A_{m, n}$ 和 $B_{m, n}$ 就可由下式确定：

$$
\left\{\begin{array}{l}
A_{m, n}=\frac{4}{p q} \int_0^p \int_0^q \varphi(x, y) \sin \frac{m \pi x}{p} \sin \frac{n \pi y}{q} d y d x \\
B_{m, n}=\frac{4}{a k_{m, n} p q} \int_0^p \int_0^q \psi(x, y) \sin \frac{m \pi x}{p} \sin \frac{n \pi y}{q} d y d x
\end{array}\right.
$$

将（2．27）式确定的系数代入级数（2．25），就得到混合问题（2．8）－（2．11）的解．

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