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二阶非齐次线性微分方程

## 3.3 二阶非齐次线性微分方程拓广的线性原理

讨论非齐次微分方程

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+p \frac{d y}{d t}+q y=g(t) ...(3.21)
$$

其相应的齐次微分方程为

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+p \frac{d y}{d t}+q y=0 ...(3.22)
$$

## 3.3.1 拓广的线性原理
求非齐次微分方程的通解的关键是下面的拓广的线性原理．
**定理 3.2** （拓广的线性原理）（1）设 $y_p(t)$ 为非齐次方程（3．21）的一个特解， $y_h(t)$ 为相应的齐次方程（3．22）的一个解，则 $y_p(t)+y_h(t)$ 为非齐次方程（3．21）的解；
（2）假设 $y_p(t)$ 与 $y_q(t)$ 为非齐次方程（3．21）的两个解，则 $y_p(t)-y_q(t)$ 为齐次方程（3．22）的解；
（3）如果 $k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)$ 为齐次方程（3．22）的通解，$y_p(t)$ 为非齐次方程（3．21）的一个特解，则 $k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)+y_p(t)$ 为非齐次方程（3．21）的通解．

证明（1），（2）直接验证即可．
（3）由（1）知，对任意的常数 $k_1, k_2$ ，由 $k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)$ 为齐次方程（3．22）的解，所以 $k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)+y_p(t)$ 为非齐次方程（3．21）的解．

对于非齐次方程（3．21）的任一个解 $y(t)$ ，由（2）可知，$y(t)-y_p(t)$ 为齐次方程 （3．22）的一个解．又因为 $k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)$ 为齐次方程（3．22）的通解，故存在唯一的 $k_1$ 及唯一的 $k_2$ 满足 $y(t)-y_p(t)=k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)$ ，即

$$
y(t)=k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)+y_p(t)
$$

因此，$k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)+y_p(t)$ 为非齐次方程（3．21）的通解．
注记（1）拓广的线性原理是刻画有阻尼简谐振动方程解的定性行为的有力工具．设 $y_p(t)$ 为非齐次方程（3．21）的一个特解，而 $y_h(t)$ 为相应齐次方程（3．22）的通解．由于有阻尼存在，在齐次方程

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+p \frac{d y}{d t}+q y=0
$$

中系数 $p>0$ ，上述齐次方程对应的线性方程组

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-q & -p
\end{array}\right) Y
$$

的平衡点 $O$ 为汇（见 3.2 节）．因此，

$$
k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t) \rightarrow 0, \quad t \rightarrow+\infty
$$

因此，当 $t$ 很大时，无论初始条件如何，均有

$$
k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)+y_p(t) \approx y_p(t)
$$

换言之，对任意正数 $\varepsilon>0$ ，存在 $t_0>0$ ，当 $t>t_0$ 时，一定有

$$
\left|y(t)-y_p(t)\right|<\varepsilon
$$

其中 $y(t)$ 为非齐次方程（3．21）的任一个解．
此时，称非齐次方程（3．21）的解是（渐近）稳定的。
（2）由定理 3.2 可知，为求非齐次方程（3．21）的通解，只需遵循如下步骤：
（i）求相应齐次方程（3．22）的通解；
（ii）求非齐次方程（3．21）的一个特解；
（iii）由（i）与（ii）的结果求非齐次方程的通解．

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