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无阻尼强制振动的节拍与共振

## 3.4 无阻尼强制振动的节拍与共振

本节讨论在周期外力作用下的无阻尼强制振动，其数学模型为非齐次二阶线性常系数微分方程

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+q y=H \cos \tau t ...(3.33)
$$

设 $q=\omega^2, \omega$ 为振动系统的固有圆频率，$\tau$ 为外力圆频率，$H$ 为外力的振幅．
首先设 $\tau \neq \omega$ ．无阻尼自由振动系统

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+\omega^2 y=0
$$

的通解为

$$
y_h(t)=k_1 \cos \omega t+k_2 \sin \omega t
$$

令 $A=\sqrt{k_1^2+k_2^2}, \varphi$ 为初相位，满足

$$
\sin \varphi=\frac{k_1}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}, \quad \cos \varphi=\frac{k_2}{\sqrt{k_1^2+k_2^2}}
$$

或

$$
\varphi=\arctan \frac{k_1}{k_2}
$$

则有

$$
y_h(t)=A \sin (\omega t+\varphi)
$$

$v=\frac{\omega}{2 \pi}$ 为固有频率．
设 $y_{ c }(t)=a e ^{ i \tau t}$ 为方程

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+\omega^2 y=H e^{i \tau t}
$$

的复值特解 $(\tau \neq \omega)$ ．将 $y_{ c }(t)$ 代入方程（3．35）得

$$
\begin{aligned}
\frac{d^2 y_{c}}{d t^2}+\omega^2 y_{c} & =a\left[\left(-\tau^2\right)+\omega^2\right] e^{i \tau t} \\
& =a\left(\omega^2-\tau^2\right) e^{i \tau t}=H e^{i \tau t}
\end{aligned}
$$

于是 $a=\frac{H}{\omega^2-\tau^2}$ ，方程（3．33）的特解为 $y_{ c }(t)$ 的实数部分，从而

$$
y_p(t)=\frac{H}{\omega^2-\tau^2} \cos \tau t
$$

因此，无阻尼强制振动方程的通解为

$$
y(t)=A \sin (\omega t+\varphi)+\frac{H}{\omega^2-\tau^2} \cos \tau t .
$$

由通解（3．36）的表达式可以看出，此解共有两部分组成：第一部分是无阻尼自由振动的解 $A \sin (\omega t+\varphi)$ ，代表固有振动的规律；第二部分是在外力作用下引起的强制振动，其规律为 $\frac{H}{\omega^2-\tau^2} \cos \tau t$ ，其振动的圆频率与外力的圆频率相同．外力圆频率 $\tau$ 越接近固有圆频率 $\omega$ ，其振动的振幅越大．

### 1．节拍
为确定起见，设 $q=2, H=1$ ，即

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+2 y=\cos \tau t
$$

此时，$\omega=\sqrt{2}$ ．
运用计算机模拟 $\tau=0.5$ 及 $\tau=1.2$ 时，满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的 $y(t)$图像（图 3．5，图 3．6）．
 ![图片](/uploads/2025-06/7efb6d.jpg)
 
 由图 3.6 可以看出，如果 $\tau=1.2$ ，则简谐振动的振幅非常有规律地按周期增加与减少，这种现象称为节拍。

下面对节拍的规律进行数学推导。
首先，方程 $\frac{ d ^2 y}{d t^2}+2 y=\cos \tau t$ 的通解为

$$
y(t)=k_1 \cos \sqrt{2} t+k_2 \sin \sqrt{2} t+\frac{1}{2-\tau^2} \cos \tau t
$$

设 $a=\frac{1}{2-\tau^2}$ ，再由初值条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 得 $k_1=-a, k_2=0$ ．因此，

$$
y(t)=a(\cos \tau t-\cos \sqrt{2} t)
$$

由初等代数学中和差化积三角公式得

$$
y(t)=-2 a\left[\sin \left(\frac{\tau+\sqrt{2}}{2}\right) t\right]\left[\sin \left(\frac{\tau-\sqrt{2}}{2}\right) t\right]
$$
如果 $\tau \approx \sqrt{2}$（如 $\tau=1.2$ ）， $\sin \left(\frac{\tau-\sqrt{2}}{2}\right) t$ 的周期非常大，而频率非常小，这就是节拍的频率图 3.6 中包络线的振动频率．

另一方面， $\sin \left(\frac{\tau+\sqrt{2}}{2}\right) t$ 的频率为 $\frac{\tau+\sqrt{2}}{4 \pi}$ ，是固有频率与外力频率的平均，因而频率相对较大，即图 3.6 中所见的快振动的频率．

### 2．共振
现研究无阻尼强制振动方程

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+2 y=\cos \sqrt{2} t
$$

的振动规律．首先观察强制振动方程

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+2 y=\cos \tau t
$$

当外力圆频率趋于固有圆频率 $\sqrt{2}$ 的过程中，满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的解的变化规律（图3．7）．

由这些图形可以预测，随着强制力圆频率充分接近固有圆频率 $\sqrt{2}$ ，其振幅随着时间的增加不断增长而趋于无穷．

下面对观测到的现象进行理论推导．对强制振动方程

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+2 y=\cos \sqrt{2} t
$$

其自由振动方程 $y^{\prime \prime}+2 y=0$ 的通解为

$$
k_1 \cos \sqrt{2} t+k_2 \sin \sqrt{2} t
$$

为求得强制振动方程的一个特解，讨论复值强制方程

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+2 y=e^{i \sqrt{2} t}
$$

![图片](/uploads/2025-06/8ccf5e.jpg)
 
 由于 $i \sqrt{2}$ 为特征方程 $\lambda^2+2=0$ 的单重复根，故设复值特解 $y_{ c }(t)=a t e ^{ i \sqrt{2} t}$ ，将 $y_{ c }(t)$代入（3．39）得

$$
\frac{d^2 y_{c}}{d t^2}+2 y_{c}=2 a i \sqrt{2} e^{i \sqrt{2} t}=e^{i \sqrt{2} t}
$$

比较系数得 $a=\frac{1}{2 \sqrt{2} i }=\frac{- i }{2 \sqrt{2}}$ ．于是

$$
y_{c}(t)=\frac{-i}{2 \sqrt{2}} t e^{i \sqrt{2} t}=\frac{-i}{2 \sqrt{2}} t(\cos \sqrt{2} t+i \sin \sqrt{2} t)
$$

其实数部分得

$$
y_p(t)=\frac{1}{2 \sqrt{2}} t \sin \sqrt{2} t
$$

因此，（3．37）的通解为

$$
y(t)=k_1 \cos \sqrt{2} t+k_2 \sin \sqrt{2} t+\frac{1}{2 \sqrt{2}} t \sin \sqrt{2} t
$$

当 $t$ 很小时，其特解项接近零，因而按自由振动方程的解变化．当 $t$ 很大时， $\frac{1}{2 \sqrt{2}} t \sin \sqrt{2} t$ 这一项在解的结构中起到决定作用，其振幅以线性增长（图 3．8）．

![图片](/uploads/2025-06/ff88c9.jpg)

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