最后更新: 2026-02-17 08:18 查看: 95 次纠错评论(0) 课件开VIP

引子：幂级数展开概述

## 为什么要进行函数展开(实数域)

对于函数展开为幂级数，首先要问一个：为什么？为什么要对函数进行展开，原因很简单：方便估计值。
比如有一个函数$f(x)=e^x$ 问：$f(0.1)$ 和 $f(8.2)$ 的值是多少？ 这是一个初等函数，直接带进去就是

$f(0.1)=e^{0.1}=\sqrt[10]e$
$f(8.2)=e^{8.2}=e^{\frac{100}{82}}=\sqrt[41]{e^{50}}$

面对这么复杂的运算，显然靠手算是困难的，我们希望在“尽可能”简单的情况下，可以估算他的值吗？
当然可以，这就是函数的展开，比如我告诉你$e^x$ 展开式为
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots
$$

这样，当你计算
$e^{0.1} \sim 1+0.1=1.1$

你大概能估算 $e^{0.1}$差不多等于1.1，而事实上$e^{0.1}=1.105$ 可以看到，误差非常小，基本上能满足“日常”使用。
 
再看$e^{8.2}$,如果我们估算他的值,计算$e^{8.2}$的前几项：
$1$ 
$8.2$
$\frac{8.2^2}{2} = \frac{67.24}{2} = 33.62$
$\frac{8.2^3}{6} = \frac{551.368}{6} \approx 91.8947$
$\frac{8.2^4}{24} = \frac{4521.1776}{24} \approx 188.3824$ 
$\frac{8.2^5}{120} = \frac{37073.65632}{120} \approx$308.9471 
$ \frac{8.2^6}{720} = \frac{303993.981824}{720} \approx 422.2139$

累加前 6 项：

$$
1+ 8.2 + 33.62 + 91.8947 + 188.3824 + 308.9471 + 422.2139 \approx 1054.2581
$$

但实际  $e^{8.2} \approx 3669.2966$ ，可见仅用 6 项误差极大，需要更多项才能逼近真实值。

#### 余项举例1
用  $\sin x$  的泰勒多项式近似$ \sin(0.5) $，要求误差 $ \leq 10^{-4}$
$$
\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}
$$
余项：
$$
R_5(x) = \frac{\sin^{(6)}(\xi)}{6!}x^6 = \frac{-\sin \xi}{720}x^6 \quad (\xi \in [0, 0.5])
$$
由于 $ \sin \xi  \leq 1$ ，所以：
$$
R_5(0.5)
 \leq \frac{0.5^6}{720} \approx \frac{0.015625}{720} \approx 2.17 \times 10^{-5} < 10^{-4}
$$
因此，5 阶多项式足够。

#### 余项举例2
用 $ e^x$  近似 $ e^{1}$ ，要求误差  $\leq 10^{-6}$ ：

$$
R_n(1) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!} \leq \frac{e}{(n+1)!} \quad (\xi \in [0,1])
$$
解不等式：
$$
\frac{e}{(n+1)!} \leq 10^{-6} \implies (n+1)! \geq e \times 10^6 \approx 2.718 \times 10^6
$$
计算阶乘：
$$
 10! = 3.628 \times 10^6 \geq 2.718 \times 10^6 
$$
所以 $ n+1 \geq 10$ ，即 至少需要 9 阶多项式。

这样，使用**余项可以保证多项式逼近的精度**

在函数展开里，特别需要注意**收敛半径**，最常见的是[等比数列](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=144)，即

$$
\frac{1}{1-x}= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots
$$

取两个值带进去：
当 $x=0.3$ 带入得到

$$
S= \frac{1}{1 - 0.3} = 1+0.3+0.3^2+0.3^3+....=\frac{1}{0.7} \approx 1.42857142857
$$
和真实(1.42857)很接近，非常完美，嗯，再代入$x=3$ 看看

$$
S= \frac{1}{1 - 3} = 1+3+3^2+3^3+....=\frac{1}{-2} \approx -\frac{1}{2}
$$

> 怎么， $1+3+3^2+...= -\frac{1}{2}$ 可以看到，**我们得到了荒谬的结论**

这就是因为当$x=3$时，$\frac{1}{1-x}$ 是发散的，而上面展开式只有在$\frac{1}{1-x}$ 的 $|x|<1$ 时才是收敛的，才有意义，因此，我们引入了“收敛域”或者叫做“收敛半径”。

这样，我们就需要解决3个问题：

>**（1）一个函数能不能展开为幂级数。
（2）怎么保证展开的值的精度？
（3）函数展开为幂级数的收敛域是多少**
**因此，本章本质上就是解决上面提出的（1）（2）（3）三个问题。**

《高等数学》的[无穷级数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=235)就是围绕上面三个问题进行深入分析。

## 实数展开的洛朗级数

问:给实变函数做泰勒展开时似乎只有正幂次项就可以完备地描述函数了，也没有负幂次项这种东西。为什么在复变函数中的洛朗展开会产生负幂次项呢？

答:但凡你看过洛朗级数的推导你就明白了,二者最大的区别在于，一个是在**圆内展开**，一个是在**圆环内展开**。

举个例子，平面直角坐标系中有两个圆 $x^2+y^2=1$ 和 $x^2+y^2=4$ ，泰勒级数是说，在**圆域** $x^2+y^2<4$ 内部，$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ 这样。而洛朗级数则是在**圆环域** $1<x^2+y^2<4$ 内部，$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n z^n$ 。

退化到实数中时，前者对应了开区间（ $-2,2$ ），在这个区间内能展开成泰勒级数（幂级数）。可是后者变成了两个开区间的并 $(-2,-1) \cup(1,2)$ ，你有见过哪个实函数展开成幂级数时，是在这种断开的区间内展开的吗？没有吧。

另外你问泰勒级数就足以描述函数的性质的话，那请你用泰勒级数描述一下 $f(x)=e^{\frac{1}{x}}$ 呗？事实上 $e^{\frac{1}{x}}$ 可以在 $D= R -\{0\}$ ，即 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 的区域内展开成
$1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2 x^2}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{-n}}{n!}$ ，当然也可以写成 $\sum_{n=0}^{-\infty} \frac{1}{(-n)!} x^n$ 的形式，这样也会出现负幂次部分。

上面的讨论是在实数域上，而如果定义域是复数，就是复数里的泰勒展开和洛朗展开。

## 解析函数泰勒展开的概述
在上一节介绍了实数函数的展开，在复数里，同样，可以进行展开。幂级数展开概述，可以参考下面的视频教程。来自 上海大学 姜颍教授  [数学物理方法之复变函数](https://www.bilibili.com/video/BV1Kh411m7r9/?p=13&share_source=copy_web&vd_source=dccae6542966b78b35c93e5e66c07a6c)
  
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