最后更新: 2025-06-27 05:33 查看: 59 次纠错评论(0) 课件开VIP

L函数

## L 函 数
怎样把一个数列＂打包＂ 设有一个数列，例如

$$
\pi, \sqrt{2}, 6.023 \times 10^{23}, \cdots,
$$

怎样把它打包成为一个对象，而且使它能够记住关于这个数列的一切，甚至可能给我们关于这个数列的新的洞察？一个标准的技巧是使用生成函数［III．32］，但是还有一个方法，已经证明在数论和在别处都富有成果。给定了一个数列 $a_1, a_2, \cdots$ ，可以定义狄利克雷级数

$$
L(s)=\frac{a_1}{1^s}+\frac{a_2}{2^s}+\frac{a_3}{3^s}+\cdots=\sum_{n \geqslant 1} a_n / n^s,
$$

这里的 $s$ 既可以是正整数，也可以是例如实数．只要 $a_1, a_2, \cdots$ 增长不是太快（以下都这样假设），级数 $L(s)$ 对于实部充分大的值 $s$ 总是收玫的。进一步说，哪怕初始的序列很简单，它也可能是一个非常＂丰富＂的对象．例如，设对所有的 $n, a_n=1$ ，这样得到的 $L(s)$ 就是著名的黎曼 $\varsigma$ 函数［IV．2§3］：$\varsigma(s)=1^{-s}+2^{-s}+3^{-s}+\cdots$ ，当 $s>1$ 时，它是收敛的，而且欧拉证明了它满足以下的等式（其中包含了对于某些偶数 $s$ 的 $\varsigma(s)$ 之值）：

$$
\varsigma(2)=\pi^2 / 6, \quad \varsigma(4)=\pi^4 / 90, \quad \varsigma(12)=\frac{691 \pi^{12}}{638512875} .
$$

这样，甚至对于简单如 $1,1,1, \cdots$ 这样的序列，也提出了一些自然的迫切需要解决的问题．

$\varsigma$ 函数是 $L$ 函数的原型的例子．但是，并不是每一个狄利克雷级数都值得称为 $L$ 函数．下面举出 $\varsigma$ 函数的一些＂好＂的性质．粗略地说，如果一个狄利克雷级数具有这些性质，就说它是一个 $L$ 函数，这当然不算是一个正式的定义。但是，事实上并没有＂一个 $L$ 函数＂的所谓正式的定义（人们曾经试图给出一个这样的定义，但是，哪一个才算是正确的定义，对此并无共识）．实际情况是，如果一个数学家找到的一个方法，使得数列 $a_1, a_2, \cdots$ 与一个数学对象 $X$ 有了联系，而又有证据表明相应的狄利克雷级数 $L(s)$ 具有 $\varsigma$ 函数的好性质，这时就说 $L(s)$ 是 $X$ 的 $L$函数．

2．$L(s)$ 可能有什么好性质
可以验证，$\varsigma$ 函数可以表示成为一个无穷乘积 $\prod_p\left(1-p^{-s}\right)^{-1}$ ，这里的 $p$ 是一切素数。这个乘积常称为欧拉乘积，而一个狄利克雷级数如果当得起 $L$ 函数这个头衔，它就应该也有类似的乘积展开式。这种展开式的存在与序列 $a_1, a_2, \cdots$ 具有乘法性质（multiplicative）密切相关但又稍强，乘法性质就是：当 $a_m, a_n$ 互素时， $a_{m n}=a_m a_n$.

为了前进一步，需要扩大我们的视野．不难证明 $L(s)$ 的定义当 $s$ 为 1 时也是有意义的，只要 $s$ 具有充分大的实部即可。此外，它在使得这个和收玫的复平面区域上定义一个全纯函数［ I．3 §5．6］．例如，定义 $\varsigma$ 函数的狄利克雷级数对于每一个适
合 $\operatorname{Re}(s)>1$ 的 $s$ 都是收玫的．关于 $\varsigma$ 函数的一个标准的事实就是，它可以唯一地拓展为对于一切 $s, \operatorname{Re}(s) \neq 1$ 的全纯函数．这个现象称为 $\varsigma$ 函数的亚纯拓展．这一点类似于无穷和 $1+x+x^2+x^3+\cdots$ 只在 $|x|<1$ 时收敛，但若写成 $1 /(1-x)$ 则对于任意不等于 1 的复数 $x$ 都有意义．具有亚纯拓展是我们期望于一般的 $L$ 函数的一个性质。然而，对于随机的序列 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ ，把相应的狄利克雷级数拓展为整个复平面上的函数，并不是一个＂纯粹形式的＂手段。对于它，完全没有理由要求相关的狄利克雷级数 $L(s)$ 能够拓展到这个级数的收玫区域之外。亚纯拓展的存在在某种意义上是断定存在某种更微妙的对称性的严格的说法．

关于亚纯拓展，应该简要地提一下黎曼假设［V．26］，这是一个猜想，说如果把 $\varsigma(s)$ 拓展为整个复平面上的全纯函数，则 $\varsigma(s)$ 的零点 ${ }^{(1)}$ ，即使得 $\varsigma(s)=0$ 的点，必定都具有实部 $\frac{1}{2}$ ，即位于直线 $\operatorname{Re}(s)=\frac{1}{2}$ 上。对于许多 $L$ 函数也都有类似的黎曼假设，而几乎所有的都是未解决的问题．

我们需要强调的最后一个性质是在 $\varsigma(s)$ 和 $\varsigma(1-s)$ 之间有比较简单的关系式．这些关系式称为 $\varsigma$ 函数的函数方程，而任何称得起 $L$ 函数这个名称的狄利克雷级数也应该有这个性质（一般地会去寻求 $\bar{L}(s)$ 和 $\bar{L}(k-s)$ 之间的关系式，其中 $k$ 是一个实数，而 $\bar{L}(s)$ 是相应于复共轭序列 $\bar{a}_1, \bar{a}_2, \bar{a}_3, \cdots$ 的狄利克雷级数）．

在数论里面有许多狄利克雷级数的例子，它们具有或者猜想具有这三个关键的性质：一个欧拉乘积、具有亚纯拓展和一个函数方程。这些狄利克雷级数后来就被称为 $L$ 函数．例如，设 $A, B$ 是两个整数，使得三次方程

$$
y^2=x^3+A x+B
$$
的 3 个根都是单根，（1）定义了一条椭圆曲线［III．21］，与之相关有一个序列 $a_1, a_2, \cdots$ （其中 $a_n$ 与（1）的根的个数 $\bmod n$ 相关，至少当 $n$ 为素数时如此，详见算术几何［IV． 5 §5．1］）．然而确定与它相关的狄利克雷级数在复平面上的亚纯拓展 $L(s)$ 是一个多年没有解决的问题．现在由于怀尔斯 • 泰勒等人关于费马大定理［V．10］的工作，已经知道这个亚纯拓展是存在的（而且没有极点）．

3．$L$ 函数的要点何在
$L$ 函数的最早的应用之一是由狄利克雷［VI．36］本人给出的，狄利克雷用它来证明在一般的算术序列中必有无穷多个素数存在（见解析数论［IV． 2 §4］）．事实上，虽然黎曼假设还未得到证明，甚至关于黎曼 $\varsigma$ 函数的零点的位置的部分结果在素数分布理论上也有深刻的推论。

然而，近百年来数学家已经找到它们的第二个用途：若 $X$ 是一个数学对象，而 $L(s)$ 是相应的 $L$ 函数，关于 $X$ 的算术与 $L(s)$ 所取之值的关系，典型情况是与定义 $L(s)$ 的狄利克雷级数不收玫的点的关系上，有很深刻的猜测！这个现象的基本结果是 Birch－Swinnerton－Dyer 猜想［V．4］，它的弱的版本是：与方程（1）相关的 $L$ 函数在 $s=1$ 处为零，当且仅当（1）有无穷多个解的 $x$ 与 $y$ 坐标都是有理数．关于这个猜想已经知道了很多，而且在 Deligne，Belinson，Bloch 和 Kato 的工作中已经大大推广，然而在本文写作之时仍未解决．

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