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L函 数
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更新:
2025-06-27 05:33
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L函 数
## L 函 数 怎样把一个数列"打包" 设有一个数列,例如 $$ \pi, \sqrt{2}, 6.023 \times 10^{23}, \cdots, $$ 怎样把它打包成为一个对象,而且使它能够记住关于这个数列的一切,甚至可能给我们关于这个数列的新的洞察?一个标准的技巧是使用生成函数[III.32],但是还有一个方法,已经证明在数论和在别处都富有成果。给定了一个数列 $a_1, a_2, \cdots$ ,可以定义狄利克雷级数 $$ L(s)=\frac{a_1}{1^s}+\frac{a_2}{2^s}+\frac{a_3}{3^s}+\cdots=\sum_{n \geqslant 1} a_n / n^s, $$ 这里的 $s$ 既可以是正整数,也可以是例如实数.只要 $a_1, a_2, \cdots$ 增长不是太快(以下都这样假设),级数 $L(s)$ 对于实部充分大的值 $s$ 总是收玫的。进一步说,哪怕初始的序列很简单,它也可能是一个非常"丰富"的对象.例如,设对所有的 $n, a_n=1$ ,这样得到的 $L(s)$ 就是著名的黎曼 $\varsigma$ 函数[IV.2§3]:$\varsigma(s)=1^{-s}+2^{-s}+3^{-s}+\cdots$ ,当 $s>1$ 时,它是收敛的,而且欧拉证明了它满足以下的等式(其中包含了对于某些偶数 $s$ 的 $\varsigma(s)$ 之值): $$ \varsigma(2)=\pi^2 / 6, \quad \varsigma(4)=\pi^4 / 90, \quad \varsigma(12)=\frac{691 \pi^{12}}{638512875} . $$ 这样,甚至对于简单如 $1,1,1, \cdots$ 这样的序列,也提出了一些自然的迫切需要解决的问题. $\varsigma$ 函数是 $L$ 函数的原型的例子.但是,并不是每一个狄利克雷级数都值得称为 $L$ 函数.下面举出 $\varsigma$ 函数的一些"好"的性质.粗略地说,如果一个狄利克雷级数具有这些性质,就说它是一个 $L$ 函数,这当然不算是一个正式的定义。但是,事实上并没有"一个 $L$ 函数"的所谓正式的定义(人们曾经试图给出一个这样的定义,但是
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