最后更新: 2025-06-28 21:23 查看: 55 次纠错评论(0) 课件开VIP

插值问题的提出

## 插值问题的提出
设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，且已知在点 $a \leq x_0<x_1<\cdots<x_n \leq b$ 上的值 $y_0, y_1, \cdots, y_n$ ，若存在一简单函数 $P(x)$ ，使

$$
P\left(x_i\right)=y_i \quad(i=0,1, \cdots, n),
$$

成立，就称 $P(x)$ 为 $f(x)$ 的插值函数，点 $x_0, x_1, \cdots, x_n$ 称为插值节点，包含节点的区间 $[a, b]$ 称为插值区间，求插值函数 $P(x)$ 的方法称为插值法．

若 $P(x)$ 是次数不超过 $n$ 的代数多项式，即

$$
P(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n
$$

其中 $a_i$ 为实数，就称 $P(x)$ 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值．

若 $P(x)$ 为分段的多项式，就称为分段插值．
若 $P(x)$ 为三角多项式，就称为三角插值．
本章只讨论多项式插值与分段插值．

从几何上看，插值法就是确定曲线 $y=P(x)$ ，使其通过给定的 $n+1$ 个点 $\left(x_i, y_i\right), i=0,1, \cdots, n$ ，并用它近似已知曲线 $y=f(x)$ ．见图2－1．

![图片](/uploads/2025-06/f57040.jpg){width=300px}
 
 ## 多项式插值
设在区间 $[a, b]$ 上给定 $n+1$ 个点

$$
a \leq x_0<x_1<\cdots<x_n \leq b ...(1.3)
$$

上的函数值 $y_i=f\left(x_i\right)(i=0,1, \cdots, n)$ ，求次数不超过 $n$ 的多项式 $P(x)$ ，使

$$
P\left(x_i\right)=y_i \quad(i=0,1, \cdots, n),
$$

由此可以得到关于系数 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ 的 $n+1$ 元线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_0+a_1 x_0+\cdots+a_n x_0^n=y_0 \\
a_0+a_1 x_1+\cdots+a_n x_1^n=y_1 \\
\vdots \\
a_0+a_1 x_n+\cdots+a_n x_n^n=y_n
\end{array}\right. ...(1.4)
$$

此方程组的系数矩阵为

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\
1 & x_1 & \cdots & x_1^n \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & x_n & \cdots & x_n^n
\end{array}\right] ...(1.5)
$$

称为范德蒙德（Vandermonde）矩阵，由于 $x_i(i=0,1, \cdots, n)$互异，故

$$
\operatorname{det} A=\prod_{\substack{i, j=o \\ i>j}}^{n-1}\left(x_i-x_j\right) \neq 0
$$

因此线性方程组（1．4）的解 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ 存在且唯一．
定理1 满足条件（1．3）的插值多项式 $ {P(x)}$ 是存在唯一的。

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