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模m的剩余类环

## 3 模m的剩余类环

一个线性空间 $V$ 模其子空间 $M$ 的商空间 $V / M$ 是由所有模 $M$的同余类 $\bar{\alpha}=\alpha+M$ 组成的．现在我们把这一思想应用到有理整数环 $\mathbb{Z}$ 中来。

**定义** 设 $m$ 是一个正整数，定义

$$
\mathbb{Z} /(\boldsymbol{m})=\{a+(\boldsymbol{m}) \mid a \in \mathbb{Z}\} .
$$

在 $\mathbb{Z} /(m)$ 内按 § 2 中所指出的办法定义加法、乘法：

$$
\begin{aligned}
(a+(m))+(b+(m)) & =a+b+(m), \\
(a+(m))(b+(m)) & =a b+(m),
\end{aligned}
$$

此两种运算满足 § 2 中所指出的八条运算法则，于是 $\mathbb{Z} /(m)$ 成为一个代数系统，称为 $\mathbb{Z}$ 模理想 $(m)$ 的**剩余类环**或 $\mathbb{Z}$ 模理想 $(m)$ 的**商环**。

定义 $(a+(m))+(-b+(m))=(a+(m))-(b+(m))$ ，称之为 $\mathbb{Z} /(m)$ 内的**减法运算**．

将模 $m$ 的剩余类 $a+(m)$ 记做 $\bar{a}$ ，那么 $\mathbb{Z} /(m)$ 中的运算可以写成 $\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}, \bar{a} \cdot \bar{b}=\overline{a b}$ ．

> 注意现在 $\mathbb{Z} /(m)$ 中的元素已经不是普通的数。它们的加法、乘法也不再是数的加法、乘法．这样，我们又一次跳出数及其四则运算的框框了．

在§2中已指出， $\mathbb{Z} /(m)$ 恰有 $m$ 个不同元素，即

$$
\mathbb{Z} /(m)=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{m-1}\},
$$

其中 $\overline{0}$ 称为 $\mathbb{Z} /(m)$ 的**零元素**，$\overline{1}$ 称为 $\mathbb{Z} /(m)$ 的**单位元素**，它们在 $\mathbb{Z} /(m)$ 的加法、乘法中起着与 $\mathbb{Z}$ 中 0,1 相类似的作用。另外， $\bar{a}=\overline{0}$ 的充分必要条件是 $a \equiv 0(\bmod m)$ ，亦即 $m \mid a$ 。

> **在所有模 $m$ 剩余类环中，$m=p$ 为素数的情况最为重要**。

**命题3.1** 设 $p$ 为素数， $\bar{a}$ 是 $\mathbb{Z} /(p)$ 中一个非零元素，则必存在 $\bar{u} \in \mathbb{Z} /(p)$ ，使 $\bar{u} \cdot \bar{a}=\overline{1}$ ．将 $\bar{u}$ 写成 $\frac{\overline{1}}{\bar{a}}$ ．

证 $\bar{a} \neq \overline{0}$ 意味着 $p \nmid a$ ，从而 $(a, p)=1$ ，于是按命题1．3的推论 2 ，有 $u, v \in \mathbb{Z}$ ，使 $u a+v p=1$ 。于是 $\bar{u} \cdot \bar{a}=\overline{u a}=\overline{1-v p}=\overline{1}-\bar{v} \bar{p}=\overline{1}$ （注意 $\bar{p}=\overline{0}$ ）．

上面的命题表示 $\mathbb{Z} /(p)$ 中非零元素都有逆元素，即在 $\mathbb{Z} /(p)$ 内可以做除法．就是说，若 $\bar{a}, \bar{b} \in \mathbb{Z} /(p), \bar{b} \neq 0$ ，我们令

$$
\bar{a} \cdot \frac{\overline{1}}{\bar{b}}=\frac{\bar{a}}{\bar{b}}
$$
于是 $\mathbb{Z} /(p)$ 和数域一样有加、减、乘、除四则运算，而且这些运算满足相同的运算法则，即在第二章 § 1中所指出的数域 $K$ 的加法、乘法所满足的九条运算法则。从代数学的抽象观点看， $\mathbb{Z} /(p)$ 和数域具有共同的性质。因此，我们把 $\mathbb{Z} /(p)$ 称为 **$p$个元素的有限域**，并使用空体字母 $\mathbb{F}_p$ 来表示它。 $\mathbb{F}_p$ 中的元素是

$$
\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{p-1} .
$$

$\mathbb{F}_p$ 和数域 $K$ 也有一些不同的地方：
1）数域 $K$ 包含无限多元素， $\mathbb{F}_p$ 仅含 $p$ 个元素；
2）数域 $K$ 内任一非零元 $a$ 连加 $n$ 次仍不为 0 ，即 $n a \neq 0$ ，但 $\mathbb{F}_p$内任一元 $\bar{a}$ 连加 $p$ 次即为 $\overline{0}$ ，因 $\bar{a}+\bar{a}+\cdots+\bar{a}=\overline{a+a+\cdots+a}=\overline{p a}= \overline{0}$ ；

3） $\mathbb{F}_p$ 内任一元 $\bar{a}$ ，其 $p$ 次幂 $\bar{a}^p=\bar{a}$ ．这是因为按 Fermat 小定理，有 $a^p \equiv a(\bmod p)$ ，从而 $\bar{a}^p=\bar{a}$ 。

4）在 $\mathbb{F}_p$ 内有 $(\bar{a}+\bar{b})^p=\bar{a}+\bar{b}$ 。这只要利用二项展开公式即知

$$
(a+b)^p \equiv a+b(\bmod p) .
$$

现在，前面各章所阐述的线性代数理论，只要把其中数域 $K$ 换成有限域 $\mathbb{F}_p$ ，那么所有概念和命题仍然成立（但跟上述四条有关的除外）。因此，我们有 $\mathbb{F}_p$ 上线性方程组， $\mathbb{F}_p$ 上 $m$ 维向量空间 $\mathbb{F}_p^m, \mathbb{F}_p$上 $m \times n$ 矩阵所成的集合 $M_{m, n}\left(\mathbb{F}_p\right), \mathbb{F}_p$ 上方阵的行列式， $\mathbb{F}_p$ 上的线性空间及其上的线性映射、线性变换理论等等．这些理论在密码学，计算机科学等领域有广泛的应用．

如果 $f(x)=a_0 x^m+a_1 x^{m-1}+\cdots+a_m$ 是一个整数系数多项式，令 $a_i+(p)=\bar{a}_i(i=0,1, \cdots, m)$ ，则 $\bar{f}(x)=\bar{a}_0 x^m+\bar{a}_1 x^{m-1}+\cdots+\bar{a}_m$ 是有限域 $\mathbb{F}_p$ 上的多项式．这种多项式和数域 $K$ 上的多项式具有一些不同的性质。例如考查 $\mathbb{F}_2$ 上的多项式（若 $\bar{a}_i=\overline{0}$ ，则该项省略，若 $\bar{a}_i=\overline{1}$ ，则 $\overline{1}$ 省略）：

$$
\bar{f}(x)=x^2+x+\overline{1}, \quad \bar{g}(x)=x^4+x^3+x^2+x+\overline{1} .
$$

它们作为多项式是两个不同次的多项式，不能相等，但看做定义在 $\mathbb{F}_2$ 上的函数， $\bar{f}(x)=\bar{g}(x)$ ．这种现象对于数域 $K$ 上的多项式是不可能出现的．

对 $\mathrm{F}_p$ 的深一步的研究将在抽象代数课程中进行，在这里，我们仅限于介绍以上一些初步的知识．

## 通俗解读

---

### 1. 核心思想：**一个只有 m 个数字的“迷你算术世界”**

想象我们生活在一个只有数字 $0, 1, 2, \dots, m-1$ 的世界里，所有运算结果如果“溢出”m，就自动取除以 m 的余数。

这个“迷你算术世界”就是 **模 m 的剩余类环**，记作 $\mathbb{Z}_m$。

---

### 2. 生活化比喻：**m 小时制的时钟**

最直观的例子是 **12 小时制的时钟**（此时 $m=12$）：

- 数字只有：0,1,2,...,11（或者 1点到12点，数学常用 0~11）
- 如果现在是 10 点，过 4 个小时是 $10+4=14$，但钟表显示 **2 点**  
  因为 $14 \mod 12 = 2$

这个时钟的算术就是 **模 12 的剩余类环** $\mathbb{Z}_{12}$ 的加法。

---

### 3. 什么是“剩余类”？

之前说过，模 m 的剩余类就是把所有整数按除以 m 的余数分成 m 个小组：
- [0] 类：{…, -m, 0, m, 2m, …}
- [1] 类：{…, -m+1, 1, m+1, …}
- …
- [m-1] 类：{…, -1, m-1, 2m-1, …}

每个类看成一个“数”，这些类的集合就是 **剩余类环**。

---

### 4. “环”是什么意思？

“环”是一种代数结构，表示这个集合上能做 **加法、减法、乘法**，并且运算满足常见规则（结合律、分配律等）。

在 $\mathbb{Z}_m$ 里：
- **加法**：(a 类) + (b 类) = (a+b 除以 m 的余数) 类
- **乘法**：(a 类) × (b 类) = (a×b 除以 m 的余数) 类

---

### 5. 例子：模 7 的剩余类环 $\mathbb{Z}_7$

数字：{0,1,2,3,4,5,6}

**加法例子**：
- $3+5 = 8$，8 除以 7 余 1，所以 $3+5=1$ in $\mathbb{Z}_7$
- $4+4=8 \equiv 1$，所以 $4+4=1$

**乘法例子**：
- $3×5=15$，15 除以 7 余 1，所以 $3×5=1$ in $\mathbb{Z}_7$  
  这说明在 $\mathbb{Z}_7$ 中，3 和 5 互为乘法逆元（就像倒数）。
- $2×4=8 \equiv 1$，所以 2 和 4 也互为逆元。

---

### 6. 与普通算术的不同特点

1. **可能有零因子**（当 m 是合数时）：  
   在 $\mathbb{Z}_6$ 中：$2×3=6 \equiv 0$，但 2 和 3 都不是 0。  
   这意味着“两个非零数相乘可能等于零”。

2. **除法不一定可行**：  
   在 $\mathbb{Z}_6$ 中，你能解 $2x=1$ 吗？  
   试遍 x=0..5，2x 只能是 0,2,4,0,2,4，永远不会等于 1，所以无解。  
   也就是说 2 在 $\mathbb{Z}_6$ 中没有乘法逆元。

---

### 7. 什么时候每个非零元都可逆？

当 $m$ 是 **质数** 时，模 m 的剩余类环中每个非零元都有乘法逆元，这时它升级为一个 **域**（更完美的结构），记作 $\mathbb{F}_p$。

例如 $\mathbb{Z}_7$ 是域，因为 7 是质数，1到6都有逆元：
- 1 逆元是 1
- 2 逆元是 4（因为 2×4=8≡1）
- 3 逆元是 5
- 6 逆元是 6（因为 6×6=36≡1）

---

### 8. 有什么用？

- **计算机**：CPU 的整数运算本质是模 $2^{32}$ 的剩余类环运算。
- **密码学**：RSA、椭圆曲线密码都在剩余类环（或域）中计算。
- **编码理论**：纠错码（如 Reed-Solomon 码）用在有限域上。
- **日常**：星期几的计算就是模 7 的剩余类环加法。

---

### 一句话总结

**模 m 的剩余类环就是一个只有 0 到 m-1 共 m 个数字的算术系统，做加减乘时自动取除以 m 的余数。它是抽象代数和现代密码学中最基本、最重要的有限结构。**

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