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模m的剩余类环

## 3 模m的剩余类环

一个线性空间 $V$ 模其子空间 $M$ 的商空间 $V / M$ 是由所有模 $M$的同余类 $\bar{\alpha}=\alpha+M$ 组成的．现在我们把这一思想应用到有理整数环 $\mathbb{Z}$ 中来。

**定义** 设 $m$ 是一个正整数，定义

$$
\mathbb{Z} /(\boldsymbol{m})=\{a+(\boldsymbol{m}) \mid a \in \mathbb{Z}\} .
$$

在 $\mathbb{Z} /(m)$ 内按 § 2 中所指出的办法定义加法、乘法：

$$
\begin{aligned}
(a+(m))+(b+(m)) & =a+b+(m), \\
(a+(m))(b+(m)) & =a b+(m),
\end{aligned}
$$

此两种运算满足 § 2 中所指出的八条运算法则，于是 $\mathbb{Z} /(m)$ 成为一个代数系统，称为 $\mathbb{Z}$ 模理想 $(m)$ 的**剩余类环**或 $\mathbb{Z}$ 模理想 $(m)$ 的**商环**。

定义 $(a+(m))+(-b+(m))=(a+(m))-(b+(m))$ ，称之为 $\mathbb{Z} /(m)$ 内的**减法运算**．

将模 $m$ 的剩余类 $a+(m)$ 记做 $\bar{a}$ ，那么 $\mathbb{Z} /(m)$ 中的运算可以写成 $\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}, \bar{a} \cdot \bar{b}=\overline{a b}$ ．

> 注意现在 $\mathbb{Z} /(m)$ 中的元素已经不是普通的数。它们的加法、乘法也不再是数的加法、乘法．这样，我们又一次跳出数及其四则运算的框框了．

在§2中已指出， $\mathbb{Z} /(m)$ 恰有 $m$ 个不同元素，即

$$
\mathbb{Z} /(m)=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{m-1}\},
$$

其中 $\overline{0}$ 称为 $\mathbb{Z} /(m)$ 的**零元素**，$\overline{1}$ 称为 $\mathbb{Z} /(m)$ 的**单位元素**，它们在 $\mathbb{Z} /(m)$ 的加法、乘法中起着与 $\mathbb{Z}$ 中 0,1 相类似的作用。另外， $\bar{a}=\overline{0}$ 的充分必要条件是 $a \equiv 0(\bmod m)$ ，亦即 $m \mid a$ 。

> **在所有模 $m$ 剩余类环中，$m=p$ 为素数的情况最为重要**。

**命题3.1** 设 $p$ 为素数， $\bar{a}$ 是 $\mathbb{Z} /(p)$ 中一个非零元素，则必存在 $\bar{u} \in \mathbb{Z} /(p)$ ，使 $\bar{u} \cdot \bar{a}=\overline{1}$ ．将 $\bar{u}$ 写成 $\frac{\overline{1}}{\bar{a}}$ ．

证 $\bar{a} \neq \overline{0}$ 意味着 $p \nmid a$ ，从而 $(a, p)=1$ ，于是按命题1．3的推论 2 ，有 $u, v \in \mathbb{Z}$ ，使 $u a+v p=1$ 。于是 $\bar{u} \cdot \bar{a}=\overline{u a}=\overline{1-v p}=\overline{1}-\bar{v} \bar{p}=\overline{1}$ （注意 $\bar{p

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