最后更新: 2025-10-19 11:28 查看: 35 次纠错评论(0) 课件开VIP

交错映射的性质

## 交错映射的性质
**命题4．4** 设 $g$ 是从 $V^r$ 到 $K$ 上线性空间 $W$ 的一个交错映射，则存在 $E_r(V)$ 到 $W$ 的唯一线性映射 $\sigma$ ，使下图交换：

![图片](/uploads/2025-10/43ce88.jpg)
 
证 若 $r>n$ ，则 $E_r(V)=\{0\}$ ，又 $g$ 为零映射，故命题显然成立．下面设 $r \leqslant n$ 。对于 $V$ 内取定的一组基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ 。已知 $\left\{\varepsilon_{i_1} \wedge \cdots \wedge \varepsilon_{i_r} \mid i_1\right. \left.<i_2<\cdots<i_r\right\}$ 组成 $E_r(V)$ 的一组基，且 $f\left(\varepsilon_{i_1}, \cdots, \varepsilon_{i_r}\right)=\varepsilon_{i_1} \wedge \cdots \wedge \varepsilon_{i_r}$ ．所以我们只要定义 $\sigma$ 在这组基下的像就可以了。命

$$
\sigma\left(\varepsilon_{i_1} \wedge \cdots \wedge \varepsilon_{i_r}\right)=g\left(\varepsilon_{i_1}, \cdots, \varepsilon_{i_r}\right) .
$$

对于任意 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r \in V$ ，设

$$
\alpha_i=a_{i 1} \varepsilon_1+\cdots+a_{i n} \varepsilon_n \quad(i=1,2, \cdots, n) .
$$

我们有

$$
\begin{aligned}
& \sigma f\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)=\sigma\left(\sum_{\Omega_r}\left|A\left(\Omega_r\right)\right| f\left(\varepsilon_{i_1}, \cdots, \varepsilon_{i_r}\right)\right) \\
& \quad=\sum_{\Omega_r}\left|A\left(\Omega_r\right)\right| \sigma\left(\varepsilon_{i_1} \wedge \cdots \wedge \varepsilon_{i_r}\right) \\
& \quad=\sum_{\Omega_r}\left|A\left(\Omega_r\right)\right| g\left(\varepsilon_{i_1}, \cdots, \varepsilon_{i_r}\right)=g\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)
\end{aligned}
$$

这说明由（2）式所定义的线性映射 $\sigma$ 满足 $g=\sigma f$ ，故它使命题中的图交换。

反之，任何满足命题要求的映射 $\sigma$ 在 $E_r(V)$ 的基处的作用要满足（2）式，而线性映射由它在一组基处的作用唯一决定，故 $\sigma$ 是唯一的．

**命题 4.5** 对于整数 $r, s \geqslant 1$ ，存在 $E_r(V) \times E_s(V)$ 到 $E_{r+s}(V)$ 的唯一双线性映射 $\varphi$ ，使对任意 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r \in V$ 及任意 $\beta_1, \cdots, \beta_s \in V$ ，都有 $\varphi\left(\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_r, \beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_s\right)=\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_r \wedge \beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_s$.

证 取定 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r \in V$ ，定义 $V^s$ 到 $E_{r+s}(V)$ 的映射

$$
g:\left(\beta_1, \cdots, \beta_s\right) \mapsto \alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_r \wedge \beta_1 \wedge \cdots \cdots \wedge \beta_s .
$$

这显然是一个 $s$ 重交错映射．根据命题 4.4 ，存在 $E_s(V)$ 到 $E_{r+s}(V)$ 的唯一线性映射 $\sigma\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)$ ，使
$$
\sigma\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)\left(\beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_s\right)=\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_r \wedge \beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_s .
$$

现在考查 $K$ 上线性空间 $W=\operatorname{Hom}\left(E_s(V), E_{r+s}(V)\right)$ ，显然，$\sigma\left(\alpha_1, \cdots\right.$ ， $\left.\alpha_r\right) \in W$ ．我们定义 $V^r$ 到 $W$ 的映射 $h$ 如下：

$$
h\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)=\sigma\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)
$$

这显然是一个 $r$ 重交错映射。再根据命题4．4，存在 $E_r(V)$ 到 $W$ 的唯一线性映射 $\tau$ ，使 $\tau\left(\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_r\right)=\sigma\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)$ 。

现在定义 $E_r(V) \times E_s(V)$ 到 $E_{r+s}(V)$ 的映射如下：

$$
\varphi(x, y)=\tau(x)(y) \quad\left(x \in E_r(V), y \in E_s(V)\right) .
$$

此时有（注意 $\forall x \in E_r(V), \tau(x) \in \operatorname{Hom}\left(E_s(V), E_{r+s}(V)\right)$ ）：

$$
\begin{aligned}
& \varphi\left(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2, y\right)=\tau\left(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2\right)(y) \\
& \quad=\left(\lambda_1 \tau\left(x_1\right)+\lambda_2 \tau\left(x_2\right)\right)(y)=\lambda_1 \tau\left(x_1\right)(y)+\lambda_2 \tau\left(x_2\right)(y) \\
& \quad=\lambda_1 \varphi\left(x_1, y\right)+\lambda_2 \varphi\left(x_2, y\right)
\end{aligned}
$$

（ii）

$$
\begin{aligned}
& \varphi\left(x, \mu_1 y_1+\mu_2 y_2\right)=\tau(x)\left(\mu_1 y_1+\mu_2 y_2\right) \\
& \quad=\mu_1 \tau(x)\left(y_1\right)+\mu_2 \tau(x)\left(y_2\right)=\mu_1 \varphi\left(x, y_1\right)+\mu_2 \varphi\left(x, y_2\right)
\end{aligned}
$$

（iii）

$$
\begin{aligned}
& \varphi\left(\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_r, \beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_s\right)=\tau\left(\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_r\right)\left(\beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_s\right) \\
& \quad=\sigma\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)\left(\beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_s\right) \\
& \quad=\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_r \wedge \beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_s
\end{aligned}
$$
故 $\varphi$ 满足命题的要求．由于 $\left\{\varepsilon_{i_1} \wedge \cdots \wedge \varepsilon_{i_r}\right\}$ 和 $\left\{\varepsilon_{j_1} \wedge \cdots \wedge \varepsilon_{j_s}\right\}\left(i_1<i_2<\cdots\right. <i_r ; j_1<j_2<\cdots<j_s$ ）分别是 $E_r(V)$ 和 $E_s(V)$ 的基，而满足命题要求的 $\varphi$ 应当使

$$
\varphi\left(\varepsilon_{i_1} \wedge \cdots \wedge \varepsilon_{i_r}, \varepsilon_{j_1} \wedge \cdots \wedge \varepsilon_{j_s}\right)=\varepsilon_{i_1} \wedge \cdots \wedge \varepsilon_{i_r} \wedge \varepsilon_{j_1} \wedge \cdots \wedge \varepsilon_{j_s}
$$

故 $\varphi$ 是唯一的。
现在我们作向量空间的直和，令 $E_0(V)=K$ ，而

$$
E(V)=E_0(V) \oplus E_1(V) \oplus E_2(V) \oplus \cdots .
$$

由于 $\operatorname{dim} K=1, \operatorname{dim} E_r(V)=\binom{n}{r}(r \leqslant n), \operatorname{dim} E_r(V)=0(r>n)$ ，故 $\operatorname{dim} E(V)=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}=2^n$ ．现在我们在 $E(V)$ 的向量间定义外积．

1）对于 $\lambda \in E_0(V), x \in E_r(V)$ ，定义

$$
\lambda \wedge x=x \wedge \lambda=\lambda x \quad(r=0,1, \cdots) .
$$

2）对于 $x \in E_r(V), y \in E_s(V)$ ，定义 $x \wedge y=\varphi(x, y)$（见命题
4．5），此处 $r, s \geqslant 1$ ．
3）对于

$$
\begin{array}{ll}
x=x_0+x_1+\cdots+x_n & \left(x_r \in E_r(V)\right), \\
y=y_0+y_1+\cdots+y_n & \left(y_r \in E_r(V)\right),
\end{array}
$$

定义

其中

$$
\begin{gathered}
x \wedge y=z_0+z_1+\cdots+z_n \\
z_k=\sum_{i+j=k} x_i \wedge y_j
\end{gathered}
$$

根据命题4．5，对于 $V$ 内三组向量 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r ; \beta_1, \cdots, \beta_s ; \gamma_1, \cdots$ ， $\gamma_t$ ，有
$$
\begin{aligned}
& {\left[\left(\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_r\right) \wedge\left(\beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_s\right)\right] \wedge\left(\gamma_1 \wedge \cdots \wedge \gamma_t\right)} \\
& \quad=\left(\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_r\right) \wedge\left[\left(\beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_s\right) \wedge\left(\gamma_1 \wedge \cdots \wedge \gamma_t\right)\right] \\
& \quad=\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_r \wedge \beta_1 \wedge \cdots \wedge \beta_s \wedge \gamma_1 \wedge \cdots \wedge \gamma_t
\end{aligned}
$$

由此不难证明 $E(V)$ 内的外积满足结合律．同时容易看出，外积满足分配律，即对任意 $x, y, z \in E(V)$ ，有

$$
\begin{aligned}
& (x+y) \wedge z=x \wedge z+y \wedge z \\
& x \wedge(y+z)=x \wedge y+x \wedge z
\end{aligned}
$$

另外，对任意 $x, y \in E(V)$ 及 $\lambda \in K$ ，有

$$
(\lambda x) \wedge y=x \wedge(\lambda y)=\lambda(x \wedge y)
$$

所以 $E(V)$ 组成一个数域 $K$ 上的线性结合代数，称为 $V$ 上的**外代数**或 Grassmann 代数。

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