最后更新: 2025-11-11 16:23 查看: 34 次纠错评论(0) 课件开VIP

量子论的完备性问题

1．EPR 佯谬
为了对量子纠缠提出质疑，爱因斯坦（A．Einstein）、波多尔斯基（B．Podolsky）和罗森（N．Rosen）三人发表了一篇论文 ${ }^{(2)}$ ，提出了著名的 EPR 佯谬。

由两个粒子组成的系统，它们相距 $a$ ，它们之中每个粒子的位置算符 $x_i$ 和动量 $p_i$ 均不对易 $(i=1,2)$ ，但 $x_1-x_2$ 和 $p_1+p_2$ 对易，它们有共同的本征函数。一维两自由粒子（无自旋）的纠缠态如下：

$$
\begin{aligned}
\delta\left(x_1-x_2-a\right) & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} p \exp \left[\mathrm{i} p\left(x_1-x_2-a\right) / \hbar\right] \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} p \psi_p\left(x_2\right) u_p\left(x_1\right)
\end{aligned}
$$
其中，$u_p\left(x_1\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} p x_1 / \hbar}$ 是粒子 1 的动量本征态，本征值为 $p ; \psi_p\left(x_2\right)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\left(x_2+a\right) / \hbar}$ 是粒子 2 的动量本征态，本征值为 $-p$ ．对式（12．16）有如下两种不同理解：
（1）可视为函数 $\delta(x-a)$ 的展开式，其中 $x=x_1-x_2$ 。
（2）也可视为两粒子的动量 $\left(p_1, p_2\right)$ 共同本征态的相干叠加态，其中 $p_1=p, p_2=-p$ 。

若测得粒子 1 的动量为 $p$ ，则测得粒子 2 的动量一定是 $-p$ ，两者之间有确切的关联，这就是纠缠态所展示的非局域性。那么，设想两粒子相距 $a$ 很大，例如在中国和欧洲各有一粒子，对粒子 1 操作，是否还会立即对粒子 2 产生影响呢？

爱因斯坦：当两粒子相距 $a$ 很大时，对粒子 1 的测量结果不会影响对粒子 2的同时测量结果，否则就是＂离奇的超距作用＂，违反了相对论的原理．

例如，测得粒子 1 的坐标为 $x_1$ ，就意味着测得粒子 2 的坐标为 $x_1-a$ ；测得粒子 1 的动量为 $p$ ，就意味着测得粒子 2 的动量为 $-p$ ．即对粒子 1 的位置或动量测量，相当于对粒子 2 同一物理量测量！

根据海森伯不确定性原理：$x_1$ 和 $\hat{p}_1$ 是不能被同时精确测量的！这就意味着在测量 $x_1$ 的同时，$\hat{p}_2$ 也不能同时被精确测量了。但是 $x_1$ 与 $\hat{p}_2$ 属于不同自由度，相互对易，具有共同本征函数，可以同时具有确定值．

对于上述佯谬，回答有两种：（1）$x_1$ 和 $\hat{p}_2$ 的确同时具有精确值，只是量子物理学描述不完备；（2）的确存在不需要时间的超距作用，使得 $\hat{p}_1$ 的不确定性可瞬间传递给 $\hat{p}_2$ ，从而使它们具有同样的不确定性．即测量 $x_1$ 的同时，测量 $\hat{p}_2$ 是不可能的，因为 $\hat{p}_1$ 的不确定性瞬间导致 $\hat{p}_2$ 不确定性．很明确，现代量子物理学选择后者．

EPR 论文认为：量子物理学对于物理实在的描述并不完备，波函数不能对于物理实在给出完备性描述，而在将来这种完备性理论可能被揭示。

EPR 论文坚持＂局域性＂，即一个粒子的属性只局域在这个粒子上，而它对另一个粒子的作用必须经过在空间中的传播后才能产生影响，传播速度的极限是真空中的光速。量子纠缠理论显然突破了这个＂局域性＂的假说，被爱因斯坦称为＂幽灵般的超距作用＂。

2．量子纠缠与海森伯不确定性原理的关联
根据不确定性原理，两个不对易的可观测量不能同时具有确定值，不能具有共同本征态．如果两个客观测得的力学量属于不同自由度，则彼此一定是对易的，因而原则上可以同时确定．从上述 EPR 的实验结果看，若要说明量子物理学是完备的，海森伯不确定性原理是正确的，则量子纠缠的＂超距作用＂必须存在。

假如量子纠缠机制不存在，如上面 EPR 详谬所述，则可借助守恒定律同时测量 $x_1$和 $\hat{p}_2$ ，因为它们相互对易，于是得两个粒子各自位置与动量的精确值，但任何一个粒子的位置和动量是不对易的，这就违反了不确定性原理. 由此可见，由于量子纠
缠机制，当测量其中一个粒子的动量或坐标时，纠缠态粒子瞬间坍缩成某本征态，
两粒子的状态立即通过“超距作用”改变，上述想借助守恒定律同时预测两个粒子
各自坐标与动量的精确值是不可能的.  
量子纠缠是涉及不同自由度的两个或多个彼此对易的可观测量的共同测量结果之
间的关联. 这些可观测量既可以属于多个粒子，也可以属于同一个粒子. 例如实物粒子
内部自由度的量子态(如电子的激发态和基态等)与其质心运动的相干叠加纠缠态①.  
由此可以看出，不确定性关系与量子纠缠之间应该存在内在联系. 不过，目
前对此种关联机制尚不清晰

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：薛定谔猫态

下一篇：量子论与相对论两种法则

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)