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坐标表象与二次量子化

5．坐标表象与二次量子化
设在体积 $V$ 内，单粒子的动量 $\boldsymbol{p}$ ，自旋 $s=1 / 2$ 的全同费米粒子组成的体系， $a_{p s_z}^{+}, a_{p s_z}$ 分别表示相应粒子的产生算符和湮灭算符。作傅里叶变换

$$
\begin{aligned}
& \psi^{+}\left(\boldsymbol{r}, S_z\right)=\frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\boldsymbol{p}} a_{\boldsymbol{p} s_z}^{+} \exp (-\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar) \\
& \psi\left(\boldsymbol{r}, S_z\right)=\frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\boldsymbol{p}} a_{\boldsymbol{p} s_z} \exp (\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar)
\end{aligned}
$$

逆变换为
$$
\begin{aligned}
& a_{p s_z}^{+}=\frac{1}{\sqrt{V}} \int \mathrm{~d} \tau \psi^{+}\left(\boldsymbol{r}, S_z\right) \exp (\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar) \\
& a_{p s_z}=\frac{1}{\sqrt{V}} \int \mathrm{~d} \tau \psi\left(\boldsymbol{r}, S_z\right) \exp (-\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar)
\end{aligned}
$$

式中，$\psi^{+}\left(\boldsymbol{r}, S_z\right) 、 \psi\left(\boldsymbol{r}, S_z\right)$ 分别表示在空间 $\boldsymbol{r}$ 处产生或湮灭自旋 $z$ 分量为 $S_z$ 的粒子算符，证明如下：

试将 $\psi^{+}\left(\boldsymbol{r}, S_z\right)$ 作用于真空态 $|0\rangle$ ，并投影在坐标表象基矢上，则

$$
\begin{aligned}
& \left\langle\boldsymbol{r}^{\prime}, S_z^{\prime}\right| \psi^{+}\left(\boldsymbol{r}, S_z\right)|0\rangle \\
= & \left\langle\boldsymbol{r}^{\prime}, S_z^{\prime}\right| \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\boldsymbol{p}} a_{p s_z}^{+} \exp (-\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar)|0\rangle \\
= & \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\boldsymbol{p}} \exp (-\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar)\left\langle\boldsymbol{r}^{\prime}, S_z^{\prime} \mid \boldsymbol{p}, S_z\right\rangle \\
= & \frac{1}{V} \sum_{\boldsymbol{p}} \exp \left[-\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right) / \hbar\right] \delta_{s_z s_z^{\prime}} \\
= & \delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \delta_{s_z s_z^{\prime}}
\end{aligned}
$$

即 $\psi^{+}\left(\boldsymbol{r}, S_z\right)$ 为产生一个粒子的算符．

同理，可证 $\psi\left(\boldsymbol{r}, S_z\right)$ 为湮灭一个粒子的算符．试将 $\psi\left(\boldsymbol{r}, S_z\right)$ 作用于态 $\left|\boldsymbol{r}^{\prime}, S_z^{\prime}\right\rangle$ ，并作内积

$$
\begin{aligned}
\langle 0| \psi\left(\boldsymbol{r}, S_z\right)\left|\boldsymbol{r}^{\prime}, S_z^{\prime}\right\rangle & =\langle 0| \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\boldsymbol{p}} a_{\boldsymbol{p}_z} \exp (\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar)\left|\boldsymbol{r}^{\prime}, S_z^{\prime}\right\rangle \\
& =\frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\boldsymbol{p}} \exp (\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar)\left\langle\boldsymbol{p}, S_z \mid \boldsymbol{r}^{\prime}, S_z^{\prime}\right\rangle \\
& =\frac{1}{V} \sum_{\boldsymbol{p}} \exp \left[\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right) / \hbar\right] \delta_{s_z s_z^{\prime}} \\
& =\delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \delta_{s_z s_z^{\prime}}
\end{aligned}
$$

此外，对于自旋为零的玻色子，有

$$
\begin{aligned}
& \psi^{+}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{\sqrt{V}} \sum_p a_p^{+} \exp (-\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar) \\
& \psi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{\sqrt{V}} \sum_p a_p \exp (\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar)
\end{aligned}
$$

逆变换为

$$
\begin{aligned}
& a_p^{+}=\frac{1}{\sqrt{V}} \int \mathrm{~d} \tau \psi^{+}(\boldsymbol{r}) \exp (\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar) \\
& a_p=\frac{1}{\sqrt{V}} \int \mathrm{~d} \tau \psi(\boldsymbol{r}) \exp (-\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r} / \hbar)
\end{aligned}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
{\left[\psi(\boldsymbol{r}), \psi^{+}\left(\boldsymbol{r}^{\prime}\right)\right] } & =\frac{1}{V} \sum_{p p^{\prime}} \exp \left[\mathrm{i}\left(\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}^{\prime} \boldsymbol{r}^{\prime}\right) / \hbar\right]\left[a_p, a_{p^{\prime}}^{+}\right] \\
& =\frac{1}{V} \sum_p \exp \left[\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right) / \hbar\right]=\delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right)
\end{aligned}
$$

上述推导利用了玻色子体系的对易关系 $\left[a_p, a_{p^{\prime}}^{+}\right]=\delta_{p p^{\prime}}$ 。同理，对于费米子体系，利用反对易关系 $\left[a_{p s_z}, a_{\boldsymbol{p}^{\prime} \boldsymbol{s}_z^{\prime}}^{+}\right]_{+}=\delta_{p p^{\prime}} \delta_{s_z s_z^{\prime}}$ ，有

$$
\left[\psi\left(\boldsymbol{r}, S_z\right), \psi^{+}\left(\boldsymbol{r}^{\prime}, S_z^{\prime}\right)\right]_{+}=\delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \delta_{s_z s_z^{\prime}}
$$

例10．4 试求动能算符的二次量子化表达式。
解 对于单粒子动量为 $\boldsymbol{p}$ ，自旋 $s=1 / 2$ 的全同粒子体系，根据式（10．37）和式（10．44），有 $f_{p p}=T_{p p}=\left(\psi_p, \frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2 m} \psi_p\right)=\frac{\boldsymbol{p}^2}{2 m}$ ，且

![图片](/uploads/2025-11/eab465.jpg)
 
 在坐标表象中，无自旋粒子的波函数为 $\psi(\boldsymbol{r})$ ，动能平均值为

$$
\bar{T}=\int \psi^*(\boldsymbol{r}) \frac{\boldsymbol{p}^2}{2 m} \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \tau=\frac{\hbar^2}{2 m} \int \nabla \psi^*(\boldsymbol{r}) \cdot \nabla \psi(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \tau
$$

上两式形式相似，但实质不同：前者在粒子数表象中，$\psi^{+} 、 \psi$ 分别是产生算符和湮灭算符；后者在坐标表象中，$\psi^* 、 \psi$ 分别是共轭波函数与波函数．

例 10.5 试求粒子数算符的二次量子化表达式．
解 对于单粒子动量为 $\boldsymbol{p}$ ，自旋 $s=1 / 2$ 的全同费米粒子体系，根据式（10．37）和式 $(10.44), f_{p p}=\left(\psi_p, \psi_p\right)=1$ ，且

$$
\begin{aligned}
\hat{N} & =\sum_{\boldsymbol{p} \boldsymbol{s}_z} a_{\boldsymbol{p} S_z}^{+} a_{\boldsymbol{p} S_z} \\
& \left.=\frac{1}{V} \sum_{\boldsymbol{p} S_z} \int \mathrm{~d} \tau \int \mathrm{~d} \tau^{\prime} \exp \left[\mathrm{i} \boldsymbol{p} \cdot\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right) / \hbar\right)\right] \psi^{+}\left(\boldsymbol{r}, S_z\right) \psi\left(\boldsymbol{r}^{\prime}, S_z\right) \\
& =\sum_{s_z} \int \mathrm{~d} \tau \int \mathrm{~d} \tau^{\prime} \delta\left(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^{\prime}\right) \psi^{+}\left(\boldsymbol{r}, S_z\right) \psi\left(\boldsymbol{r}^{\prime}, S_z\right) \\
& =\sum_{s_z} \int \mathrm{~d} \tau \psi^{+}\left(\boldsymbol{r}, S_z\right) \psi\left(\boldsymbol{r}, S_z\right)=\int \mathrm{d} \tau \rho(\boldsymbol{r})
\end{aligned}
$$

其中，$\rho(\boldsymbol{r})=\sum_{s_z} \psi^{+}\left(\boldsymbol{r}, S_z\right) \psi\left(\boldsymbol{r}, S_z\right)$ ．

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