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特殊的置换群(二面体群哈密尔顿群)

下面介绍几类特殊的置换群．
例2．9．6（二面体群）利用置换的性质，可以证明2．6节介绍的二面体群 $D_n$可由如下两个元素 $\sigma, \tau$ 生成，其中

$$
\sigma=\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1
\end{array}\right), \quad \tau=\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
1 & n & n-1 & \cdots & 3 & 2
\end{array}\right),
$$

即有 $D_n=\langle\sigma, \tau\rangle$ ，其中 $D_n$ 可以看成 $S_n$ 的一个 $2 n$ 阶子群（ $n \geqslant 3$ ）．
证明 由题设知，$\sigma=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & \cdots & n\end{array}\right)$ ，且当 $n=2 k$ 为偶数时，

$$
\tau=(2 n)(3 n-1) \cdots(k k+2) ;
$$

当 $n=2 k-1$ 为奇数时，

$$
\tau=(2 n)(3 n-1) \cdots(k k+1) .
$$

由此可见 $o(\sigma)=n, o(\tau)=2$ ，并且 $\tau \sigma=\sigma^{-1} \tau$ 。
因为 $D_n=\langle\sigma, \tau\rangle$ ，而 $\tau \sigma^i=\sigma^{-i} \tau, o(\sigma)=n, o(\tau)=2$ ，所以 $D_n$ 中的每一个元素都可以表成 $\sigma^i$ 或 $\sigma^i \tau$ 的形式，这里 $i=0,1, \cdots, n-1$ ，故 $\left|D_n\right| \leqslant 2 n$ ．

可以验证这 $2 n$ 个元素两两不同，故有 $\left|D_n\right|=2 n$ ．

\＃

例 2．9．7（哈密顿（Hamilton）四元数群）设 $Q=\langle a, b\rangle$ 是由 $a, b$ 两个元素生成的有限群，$e$ 为群 $Q$ 的单位元，$Q$ 中元素满足下列关系：

$$
a^4=b^4=e, \quad a^2=b^2 \neq e, \quad b a=a^3 b
$$

可以证明 $Q=\left\{e, a, a^2, a^3, b, a b, a^2 b, a^3 b\right\}$ 恰好包含 8 个元素，这个群称为哈密顿四元数群。

利用凯莱定理，容易证明上述群与下面的置换群 $Q^{\prime}=\langle\sigma, \tau\rangle$ 同构，其中

$$
\sigma=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4
\end{array}\right)(5678), \quad \tau=\left(\begin{array}{llll}
1 & 5 & 3 & 7
\end{array}\right)(2846),
$$

$\sigma, \tau$ 满足：$\sigma^4=\tau^4=(1), \sigma^2=\tau^2 \neq(1), \tau \sigma=\sigma^3 \tau$ ．
四元数群 $Q$ 是一个非交换群，但可以证明 $Q$ 的所有子群都是正规的．注意到四元数群 $Q$ 的子群的阶只能是 $1,2,4$ 或 8 ，而 4 阶子群在 $Q$ 中的指数为 2 ，故是正规的．下面只要说明其 2 阶子群也是正规的．事实上，我们可以证明 $a^2$ 是 $Q$ 唯一的2阶元，从而 $\left\langle a^2\right\rangle$ 是 $Q$ 唯一的2阶子群，故也是正规的。

注意到 $o(a)=o\left(a^3\right)=4$ ，由 $b a=a^3 b$ 及 $a^4=1$ 可以得到 $b^{-1} a b=a^{-1}$ ，于是对任意 $0 \leqslant i \leqslant 3$ ，有

$$
\left(a^i b\right)^2=a^i b a^i b=b\left(b^{-1} a^i b\right) a^i b=b a^{-i} a^i b=b^2 \neq e
$$

故 $o\left(a^i b\right)=4$ ．因此 $a^2$ 是 $Q$ 唯一的 2 阶元．
每个子群都是正规子群的非交换群称为哈密顿群．由哈密顿（Hamilton）首先研究这种群而得名。1，2，3，5，7阶群是循环群，都不是哈密顿群。而 4 阶群和 6阶群也都不是哈密顿群，故四元数群是阶数最小的哈密顿群．关于哈密顿群，还有很多更深入的结果。

克莱因四元群，四元数群，$S_3, D_n$ 是四个具体的极为重要的群．群中许多正、反例都可以由它们举出．

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