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环的直和

4.6 环 的 直 和

本节研究的环均为么环．类似于群的直和，可以给出环的外直和及内直和的概念。

定义 4．6．1 设 $R_1, \cdots, R_r$ 为 $r$ 个环，首先作加法群 $R_1, \cdots, R_r$ 的外直和 $R=R_1 \times \cdots \times R_r$ ，然后在 $R$ 中定义乘法如下：

$$
\left(a_1, \cdots, a_r\right)\left(b_1, \cdots, b_r\right)=\left(a_1 b_1, \cdots, a_r b_r\right),
$$

可以验证，$R$ 构成一个环，称为环 $R_1, \cdots, R_r$ 的外直和，仍然记为

$$
R=R_1 \times \cdots \times R_r .
$$

$R$ 的零元素是 $\left(0_1, \cdots, 0_r\right)$ ．若 $R_i$ 有单位元 $1_i, i=1, \cdots, r$ ，则 $R$ 有单位元 $\left(1_1, \cdots, 1_r\right)$ ．

如果 $R_1, \cdots, R_r$ 都是交换环，则 $R$ 也是交换环。
外直和 $R=R_1 \times \cdots \times R_r$ 有 $r$ 个子环

$$
R_i^{\prime}=\left\{\left(0, \cdots, 0, a_i, 0, \cdots, 0\right) \mid a_i \in R_i\right\}, \quad i=1, \cdots, r,
$$

可以验证它们具有如下性质：
（1）每个 $R_i^{\prime}$ 都是 $R$ 的理想，并且 $R_i^{\prime} \cong R_i$ ；
（2）$R=R_1^{\prime}+\cdots+R_r^{\prime}$ ；
（3）$R_i^{\prime} \cap\left(R_1^{\prime}+\cdots+R_{i-1}^{\prime}+R_{i+1}^{\prime}+\cdots+R_r^{\prime}\right)=(0), i=1, \cdots, r$ ，其中（0）表示零理想；
（4）$R$ 的元素可以表成 $R_1^{\prime}, \cdots, R_r^{\prime}$ 的元素的和，并且表法是唯一的；
（5）当 $i \neq j$ 时，$R_i^{\prime}$ 的元素与 $R_j^{\prime}$ 的元素的乘积恒为 0 ．

性质（1）－（4）都是显然的，下面验证性质（5）成立．设 $a \in R_i^{\prime}, b \in R_j^{\prime}$ ，由于 $R_i^{\prime}$ 是 $R$ 的理想，故有 $a b \in R_i^{\prime}$ 且 $a b \in R_j^{\prime}$ ，因而 $a b \in R_i^{\prime} \cap R_j^{\prime}$ ．再由（3）可得 $a b =0$ ．

类似于群的直和，还可以如下定义环的内直和．
定义 4．6．2 设环 $R$ 的子环 $R_1, \cdots, R_r$ 适合
（1）每个 $R_i$ 为 $R$ 的理想；
（2）$R=R_1+\cdots+R_r$ ；
（3）$R_i \cap\left(R_1+\cdots+R_{i-1}+R_{i+1}+\cdots+R_r\right)=(0)$ ，对任意 $i=1, \cdots, r$ ．则 $R$ 称为环 $R_1, \cdots, R_r$ 的内直和，记为 $R=R_1 \oplus \cdots \oplus R_r, R_i$ 称为 $R$ 的直和因子（或直和项）．

关于内直和，容易证明下面的结论．
定理 4．6．1 设 $R_1, \cdots, R_r$ 是环 $R$ 的 $r$ 个子环，则 $R=R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots \oplus R_r$构成内直和当且仅当
（1）$R=R_1+\cdots+R_r$ ；
（2）$R$ 的每个元素 $x$ 都可以表示为 $R_i$ 中元素的和，并且表法唯一，即对任意 $x \in R$ ，存在唯一的 $x_i \in R_i$ ，使得 $x=x_1+\cdots+x_r$ ；
（3）对任意 $1 \leqslant i \neq j \leqslant r, R_i$ 的元素与 $R_j$ 的元素的乘积恒为 0 ．
证明 先证必要性．若 $R$ 为 $R_1, \cdots, R_r$ 的内直和，则结论（1）显然成立，下面只需证明结论（2）和（3）成立。

先证结论（3）成立，即对任意 $1 \leqslant i, j \leqslant r, i \neq j, R_i$ 的元素与 $R_j$ 的元素的乘积恒为 0 ．事实上，由于 $R_i, R_j$ 是 $R$ 的理想，故对任意 $x_i \in R_i, x_j \in R_j$ ，有

$$
x_i x_j \in R_i \cap R_j \subseteq R_i \cap\left(R_1+\cdots+R_{i-1}+R_{i+1}+\cdots+R_r\right)=\{0\},
$$

从而 $x_i x_j=0$ ，即 $R_i$ 的元素与 $R_j$ 的元素的乘积恒为 0 ．
再证结论（2）成立．对任意 $x \in R$ ，若存在 $x_i, y_i \in R_i$ ，使得 $x=x_1+\cdots +x_r=y_1+\cdots+y_r$ ，则

$$
x_1-y_1=\left(y_2+\cdots+y_r\right)-\left(x_2+\cdots+x_r\right) \in R_1 \cap\left(R_2+\cdots+R_r\right)=\{0\},
$$

于是有

$$
x_1=y_1 \text {, 且 } x_2+\cdots+x_r=y_2+\cdots+y_r \text {. }
$$

同上可以逐步证明 $x_2=y_2, \cdots, x_r=y_r$ ，从而和式的表法唯一。
再证充分性．要证明 $R$ 为 $R_1, \cdots, R_r$ 的内直和，只需要证明 $R_1, \cdots, R_r$ 都是 $R$ 的理想，并且对任意 $i=1,2, \cdots, r$ ，有

$$
R_i \cap\left(R_1+\cdots+R_{i-1}+R_{i+1}+\cdots+R_r\right)=(0) .
$$

先证 $R_1, \cdots, R_r$ 都是 $R$ 的理想．由条件（2）知，对任意 $x \in R$ ，存在 $x_i \in R_i$ ，使得

$$
x=x_1+\cdots+x_r,
$$

于是对任意 $n_i \in R_i$ ，由条件（3）知

$$
\begin{aligned}
& x n_i=\left(x_1+\cdots+x_r\right) n_i=x_i n_i \in R_i, \\
& n_i x=n_i\left(x_1+\cdots+x_r\right)=n_i x_i \in R_i,
\end{aligned}
$$

故 $R_i$ 是 $R$ 的理想．
再证对任意 $i=1,2, \cdots, r$ ，有

$$
R_i \cap\left(R_1+\cdots+R_{i-1}+R_{i+1}+\cdots+R_r\right)=(0) .
$$

若存在 $0 \neq x \in R_i \cap\left(R_1+\cdots+R_{i-1}+R_{i+1}+\cdots+R_r\right)$ ，则存在 $x_j \in N_j$ ， $x_i=x \neq 0$ ，使得

$$
x=x_1+\cdots+x_{i-1}+0+x_{i+1}+\cdots+x_r=0+\cdots+0+x_i+0+\cdots+0,
$$

从而 $x$ 有两种不同的和式表示，这与条件（2）矛盾，因此

$$
R_i \cap\left(R_1+\cdots+R_{i-1}+R_{i+1}+\cdots+R_r\right)=(0) .
$$

综上可知，$R$ 为 $R_1, \cdots, R_r$ 的内直和．

\＃

利用环同构定理和内直和的性质可以证明对任意 $i=1, \cdots, r$ ，有

$$
\begin{aligned}
& R / R_i \cong R_1+\cdots+R_{i-1}+R_{i+1}+\cdots+R_r, \\
& R /\left(R_1+\cdots+R_{i-1}+R_{i+1}+\cdots+R_r\right) \cong R_i .
\end{aligned}
$$

利用定理 4．6．1可以证明下面的结论成立．
定理 4．6．2 设环 $R$ 是其子环 $R_1, \cdots, R_r$ 的内直和，即 $R=R_1 \oplus \cdots \oplus R_r$ ，则

$$
R \cong R_1 \times \cdots \times R_r \quad(\text { 外直和 }) .
$$

证明 构造 $\psi: R_1 \times \cdots \times R_r \rightarrow R$ ，

$$
\left(x_1, \cdots, x_r\right) \rightarrow x_1+\cdots+x_r
$$

利用定理 4．6．1 给出的内直和的性质可以证明 $\psi$ 是环同构．

\＃

定理 4．6．2 说明在同构意义下环的内直和与外直和可以不加区分．在不引起混淆的情况下，以下将 $R_1, \cdots, R_r$ 的内直和与外直和都统一记为 $R_1 \oplus \cdots \oplus R_r$ ．

当模数互素时，孙子定理给出了一元同余式组的解法．当理想互素时，对于模理想的同余式组（参见 4.3 节）也有类似的结论，即有

定理 4．6．3（环上的中国剩余定理）设么环 $R$ 的理想 $N_1, \cdots, N_r$ 两两互素，则对任意给定的 $r$ 个元素 $b_1, \cdots, b_r$ ，同余方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
x \equiv b_1\left(\bmod N_1\right), \\
x \equiv b_2\left(\bmod N_2\right), \\
\ldots \ldots \\
x \equiv b_r\left(\bmod N_r\right)
\end{array}\right.
$$

在 $R$ 内恒有解，而且它的解模 $N_1 \cap \cdots \cap N_r$ 是唯一的，即任意两组解模 $N_1 \cap \cdots \cap N_r$同余。

在证明定理 4．6．3 前，我们先介绍理想互素的概念，并给出相关的一些性质．
定义4．6．3 如果么环 $R$ 的理想 $H, N$ 满足 $H+N=R$ ，则称理想 $H, N$互素。

性质 4．6．1 么环 $R$ 的理想 $H, N$ 互素当且仅当存在元素 $a \in H, b \in N$ ，使得 $a+b=1$ ．

证明 只需证明充分性．事实上，若存在元素 $a \in H, b \in N$ ，使得 $a+b=1$ ，则对任意 $x \in R, x=x \cdot 1=x a+x b \in H+N$ ，故 $R \subseteq H+N$ ．从而 $H+N= R$ ，即 $H, N$ 互素．

\＃

引理 4．6．1 设 $H, N, K$ 为么环 $R$ 的理想，则有
（1）若 $R$ 为交换环，则从 $H, N$ 互素可推出等式 $H \cdot N=H \cap N$ ；
（2）若 $H$ 和 $K$ 都与 $N$ 互素，则 $H \cdot K$ 也与 $N$ 互素．
证明（1）显然有 $H \cdot N \subseteq H \cap N$ ．只要证明反包含关系也成立．
设 $c \in H \cap N$ ，由 $H, N$ 互素知，$H+N=R$ ，于是存在元素 $a \in H, b \in N$ ，使得 $a+b=1$ ．用 $c$ 右乘等式两端得 $c=a c+b c$ ．显然 $a c \in H \cdot N$ ，又 $R$ 为交换环，$b c=c b \in H \cdot N$ ，故 $c \in H \cdot N$ ，从而 $H \cap N \subseteq H \cdot N$ ．综上可得 $H \cdot N=H \cap N$ ．
（2）因为 $H$ 和 $K$ 都与 $N$ 互素，故存在元素 $a \in H, b \in K, c, d \in N$ 使得

$$
a+c=1, \quad b+d=1
$$

等式两边分别相乘得

$$
1=(a+c)(b+d)=a b+(a d+c b+c d)
$$

$$
a+c=1, \quad b+d=1
$$

等式两边分别相乘得

$$
1=(a+c)(b+d)=a b+(a d+c b+c d)
$$

以此类推得

$$
M_1+M_2+M_3+M_4=N_5 \cdots N_r
$$

．．．．．．

$$
\begin{gathered}
M_1+M_2+\cdots+M_{r-1}=N_r \\
M_1+M_2+\cdots+M_r=N_r+N_1 \cdots N_{r-1}=R
\end{gathered}
$$

因而存在元素 $e_i \in M_i, i=1, \cdots, r$ ，使得 $e_1+e_2+\cdots+e_r=1$ ．对于任意 $i$ ， $j=1, \cdots, r, i \neq j$ ，由于 $M_j \subseteq N_i$ ，故有

$$
\begin{gathered}
\sigma_i\left(e_j\right)=0, \quad i \neq j, \\
\sigma_i\left(e_i\right)=\sigma_i(1)=1+N_i .
\end{gathered}
$$

下面先证明 $\sigma$ 是满的．任给 $R$ 的 $r$ 个元素 $x_1, x_2, \cdots, x_r$ ，作 $x=e_1 x_1+ e_2 x_2+\cdots+e_r x_r$ ，则

$$
\begin{gathered}
\sigma_i(x)=\sigma_i\left(e_1\right) \sigma_i\left(x_1\right)+\cdots+\sigma_i\left(e_r\right) \sigma_i\left(x_r\right)=\sigma_i\left(e_i\right) \sigma_i\left(x_i\right)=\sigma_i\left(x_i\right), \\
\sigma(x)=\left(\sigma_1(x), \cdots, \sigma_r(x)\right)=\left(\sigma_1\left(x_1\right), \cdots, \sigma_r\left(x_r\right)\right),
\end{gathered}
$$

因而 $\sigma$ 是满的．
其次证明 $\operatorname{Ker}(\sigma)=N_1 \cap \cdots \cap N_r$ ．显然 $N_1 \cap \cdots \cap N_r \subseteq \operatorname{Ker}(\sigma)$ ．
反之，设 $\sigma(x)=0$ ，于是对所有 $i$ 都有 $\sigma_i(x)=0$ ，即 $x \in N_i$ ，从而 $x \in N_1 \cap \cdots \cap N_r$ ，故有

$$
\operatorname{Ker}(\sigma) \subseteq N_1 \cap \cdots \cap N_r .
$$

因此， $\operatorname{Ker}(\sigma)=N_1 \cap \cdots \cap N_r$ ．这就完全证明了定理．

\＃

定理 4．6．3 的证明 当么环 $R$ 的理想 $N_1, \cdots, N_r$ 两两互素时，由定理 4．6．4 的同构关系知，对于 $R / N_i$ 中任意一组等价类 $b_i+N_i, i=1,2, \cdots, r$ ，存在 $R /\left(N_1 \cap \cdots \cap N_r\right)$ 中唯一的等价类 $b+\left(N_1 \cap \cdots \cap N_r\right)$ 与之对应，故定理 4．6．3 的结论也成立．

例 4．6．1 整数环 $\mathbf{Z}$ 的任意理想 $N$ ，若 $N \neq(0), N \neq \mathbf{Z}$ ，则 $N=(n), n>1$ ．将 $n$ 分解成素因子方幂的积 $n=p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}, e_i \geqslant 1$ ．于是 $(n)=\left(p_1^{e_1}\right) \cdots\left(p_r^{e_r}\right)$ ．根据引理 4．6．1的结论（1）知

$$
(n)=\left(p_1^{e_1}\right) \cap \cdots \cap\left(p_r^{e_r}\right) .
$$

显然理想 $\left(p_1^{e_1}\right), \cdots,\left(p_r^{e_r}\right)$ 两两互素．根据定理 4．6．4，得

$$
\mathbf{Z} /(n) \cong \mathbf{Z} /\left(p_1^{e_1}\right) \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z} /\left(p_r^{e_r}\right) \quad \text { (外直和). }
$$

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