最后更新: 2026-04-16 21:34 查看: 17 次纠错评论(0) 课件开VIP

Z变换的性质与差分方程

##  $Z$ 变换的性质
下面不加证明的给出 $Z$ 变换的一些性质，其中，总假设凡进行 $Z$ 变换的序列其 $Z$ 变换均存在，且 $\mathscr{Z}[f(n)]=F(z), \mathscr{Z}\left[f_i(n)\right]=F_i(n), i=1,2$ ．

性质 8．5．1（线性性质）对任意常数 $\alpha, \beta$ ，

$$
\begin{equation*}
\mathscr{Z}\left[\alpha f_1(n)+\beta f_2(n)\right]=\alpha F_1(z)+\beta F_2(z) . \tag{8.5.6}
\end{equation*}
$$

性质 8．5．2（相似性质）对常数 $a \neq 0$ ，

$$
\begin{equation*}
\mathscr{Z}\left[a^n f(n)\right]=F\left(\frac{z}{a}\right) . \tag{8.5.7}
\end{equation*}
$$

性质 8．5．3（延迟性质）若 $f(n)$ 在 $n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ 有定义，则对整数 $m>0$ ，

$$
\begin{equation*}
\mathscr{Z}[f(n-m)]=z^{-m} F(z)+\sum_{n=0}^{m-1} f(n-m) z^{-n}, \quad m=1,2, \cdots, \tag{8.5.8}
\end{equation*}
$$

且

$$
\begin{equation*}
\mathscr{Z}[f(n+m)]=z^m F(z)-\sum_{n=0}^{m-1} f(n) z^{m-n}, \quad m=1,2, \cdots . \tag{8.5.9}
\end{equation*}
$$

性质 8．5．4（像函数的微分性质）

$$
\begin{equation*}
\mathscr{Z}[-n f(n)]=z F^{\prime}(z) . \tag{8.5.10}
\end{equation*}
$$

性质 8．5．5（像函数的积分性质）设 $m$ 为整数，$n+m \leqslant 0$ 时，$f(n)=0$ ，则

$$
\begin{equation*}
\mathscr{Z}[-n f(n)]=z F^{\prime}(z) . \tag{8.5.10}
\end{equation*}
$$

性质 8．5．5（像函数的积分性质）设 $m$ 为整数，$n+m \leqslant 0$ 时，$f(n)=0$ ，则

$$
\begin{align*}
\int_z^{\infty} \frac{F(z)}{z} \mathrm{~d} z & =\mathscr{Z}\left[\frac{f(n)}{n}\right]  \tag{8.5.11}\\
z^m \int_z^{\infty} \frac{F(z)}{z^{m+1}} \mathrm{~d} z & =\mathscr{Z}\left[\frac{f(n)}{n+m}\right] . \tag{8.5.12}
\end{align*}
$$

性质 8．5．6（卷积性质）对两个离散序列 $f_1(n), f_2(n)$ ，称 $f_1(n)$ 与 $f_2(n)$ 的卷积为

$$
f_1(n) * f_2(n) \triangleq \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f_1(k) f_2(n-k)
$$

特别地，当 $n<0, f_1(n)=f_2(n)=0$ 时，则有

$$
f_1(n) * f_2(n) \triangleq \sum_{k=0}^n f_1(k) f_2(n-k)
$$

于是

$$
\mathscr{Z}\left[f_1(n) * f_2(n)\right]=F_1(z) F_2(z) .
$$

`例` 求指数衰减正弦序列 $a^n \sin (\beta n)$ 的 $Z$ 变换，其中， $0<a<1$ ．

解 $\sin n \beta=\frac{1}{2 \mathrm{j}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j} n \beta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} n \beta}\right)$ ，由式（8．5．3），

$$
\mathscr{Z}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{i} \beta n}\right]=\mathscr{Z}\left[\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \beta}\right)^n\right]=\frac{z}{z-\mathrm{e}^{\mathrm{i} \beta}}, \quad \mathscr{Z}\left[\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \beta n}\right]=\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \beta}}, \quad|z|>1 .
$$

所以

$$
\mathscr{Z}[\sin \beta n]=\frac{1}{2 \mathrm{j}}\left[\frac{z}{z-\mathrm{e}^{\mathrm{i} \beta}}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \beta}}\right]=\frac{z \sin \beta}{z^2-2 z \cos \beta+1}, \quad|z|>1 .
$$

由相似性质得

$$
\mathscr{Z}\left[a^n \sin (\beta n)\right]=\frac{\frac{z}{a} \sin \beta}{(z / a)^2-2(z / a) \cos \beta+1}=\frac{a z \sin \beta}{z^2-2 a z \cos \beta+a^2}, \quad|z|>a .
$$

`例` 求差分方程

$$
f(n+2)+3 f(n+1)+2 f(n)=0
$$

满足条件：$f(0)=0, f(1)=1$ 的解．
解 设 $F(z)=\mathscr{Z}[f(n)]$ ，方程两侧同时取 $Z$ 变换，由线性、延迟性质，有

$$
z^2 F(z)-f(0) z^2-f(1) z+3[z F(z)-f(0) z]+2 F(z)=0,
$$

代人初始条件得

$$
z^2 F(z)-z+3 z F(z)+2 F(z)=0,
$$

解得

$$
F(z)=\frac{z}{(z+1)(z+2)}=\frac{z}{z+1}-\frac{z}{z+2}, \quad|z|>2,
$$

所以

$$
\begin{aligned}
f(n) & =\mathscr{Z}^{-1}\left[\frac{z}{z+1}\right]-\mathscr{Z}^{-1}\left[\frac{z}{z+2}\right]=(-1)^n-(-2)^n \\
& =(-1)^n\left(1-2^n\right), \quad n=0,1,2, \cdots .
\end{aligned}
$$

`例`求 $a^n * b^n$ 及 $\mathscr{Z}\left[a^n * b^n\right]$ ，其中，$a, b$ 为非零常数．
解

$$
a^n * b^n=\sum_{k=0}^n a^k b^{n-k}=b^n \sum_{k=0}^n\left(\frac{a}{b}\right)^k .
$$

$a \neq b$ 时，

$$
b^n \sum_{k=0}^n\left(\frac{a}{b}\right)^k=b^n \frac{1-(a / b)^{n+1}}{1-a / b}=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}, \quad n \geqslant 0 .
$$

$a=b$ 时，

$$
b^n \sum_{k=0}^n\left(\frac{a}{b}\right)^k=b^n \sum_{k=0}^n 1=(n+1) b^n, \quad n \geqslant 0 .
$$

所以

$$
a^n * b^n=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{b-a}, & n \geqslant b, \\
(n+1) a^n, & n \geqslant b,
\end{array} \quad n \geqslant 0 .\right.
$$

由例8．5．2知，

$$
\mathscr{Z}\left[a^n\right]=\frac{z}{z-a}, \quad(|z|>|a|), \quad \mathscr{Z}\left[b^n\right]=\frac{z}{z-b}, \quad(|z|>|b|),
$$

由卷积性质，得

$$
\begin{aligned}
\mathscr{Z}\left[a^n * b^n\right] & =\mathscr{Z}\left[a^n\right] \cdot \mathscr{Z}\left[b^n\right] \\
& =\left\{\begin{array}{ll}
\frac{z^2}{(z-a)(z-b)}, & a \neq b, \\
\frac{z^2}{(z-a)^2}, & a=b,
\end{array} \quad|z|>\max \{|a|,|b|\} .\right.
\end{aligned}
$$

最后顺便说明，若将定义8．5．1中的式（8．5．1）写成 $F(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) z^{-n}$ ，称这样的变换为双边 $Z$ 变换．可以用类似的方法研究双边 $Z$ 变换．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇： Z变换的定义以及逆变换

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)