最后更新: 2026-04-16 21:38 查看: 21 次纠错评论(0) 课件开VIP

附录5：三大变换总结

## 三大变换总结
 
作者：冯复科
 
 傅里叶变化、拉普拉斯变化和Z变换是三大变换。
 
 （1）由拉普拉斯变换的定义

$$
\mathscr{L}[f(t)]=\int_0^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{~d} t=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\beta t} u(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t
$$

知，拉普拉斯变换是特殊的傅里叶变换．其中的 $\mathrm{e}^{-\beta t}$ 是对 $f(t)$ 的收敛性进行＂调控＂的，$u(t)$ 对 $f(t)$ 进行了＂$t<0$ 时，令 $f(t)=0$＂的重新定义。所以拉普拉斯变换是特殊的傅里叶变换．但较傅里叶变换，在古典积分意义下，拉普拉斯变换存在的函数要广泛的多．比如常用的单位阶跃函数、常值函数、正弦余弦函数、多项式函数等在古典积分意义下傅里叶变换不存在，但拉普拉斯变换却存在．如 $\mathscr{F}\left[\sin \omega_0 t\right]= j \pi\left[\delta\left(\omega+\omega_0\right)-\delta\left(\omega-\omega_0\right)\right]$ ，即 $\sin \omega_0 t$ 的傅里叶变换不能通过古典积分用常义函数来表示，而要通过广义 $\delta$ 函数来表示．而 $\mathscr{L}\left[\sin \omega_0 t\right]=\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}$ ，即 $\sin \omega_0 t$ 的拉普拉斯变换可通过古典积分用常义函数表示出来．这使得拉普拉斯变换在求解微积分方程以及其他领域中得到了更为广泛的应用． 8.4 节对一阶线性系统在激励为单位阶跃函数 $u(t)$ 时的响应及幅频、相频特性进行了详细分析，并根据分析结果对工程设计参数进行了确定，体现了拉普拉斯变换在线性系统设计中不可缺少的作用．
（2）拉普拉斯变换有许多与傅里叶变换类似的性质，这是它的定义所决定的，它们都几乎反映的是像原函数（或像函数）改变后的像（或原像）与改变前的像（或原像）间的关系，如

$$
\begin{gathered}
\mathscr{L}\left[f^{(n)}(t)\right]=s^n F(s)-s^{n-1} f(0)-s^{n-2} f^{\prime}(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0), \\
\mathscr{L}\left[(-t)^n f(t)\right]=F^{(n)}(s), \quad \mathscr{L}^{-1}\left[\int_s^{\infty} F(s) \mathrm{d} s\right]=\frac{1}{t} \mathscr{L}^{-1} F(s)=\frac{f(t)}{t}, \\
\mathscr{L}^{-1}[F(s-a)]=\mathrm{e}^{a t} \mathscr{L}^{-1} F(s)=\mathrm{e}^{a t} f(t), \quad \cdots
\end{gathered}
$$

这可通过已知的、易求的像（或原像）求未知的像（或原像），恰当综合地利用这些性质，能使我们获得良好的分析及计算技能。

在拉普拉斯变换的卷积性质中，有公式：

$$
f_1(t) * f_2(t)=\int_0^t f_1(\tau) f_2(t-\tau) \mathrm{d} \tau,
$$

称其为拉普拉斯变换中的卷积公式，这只是为了与拉普拉斯变换相对应．因为在进行拉普拉斯变换时，函数都满足＂$t<0$ 时，$f(t)=0$＂的条件，而在这个条件下，根据第 7 章给出的卷积定义：

$$
f_1(t) * f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) \mathrm{d} \tau=\int_0^t f_1(\tau) f_2(t-\tau) \mathrm{d} \tau,
$$

也就是说，卷积只有一个定义，拉普拉斯变换中的卷积公式只是一般卷积公式在特殊条件＂$t<0$ 时，$f_1(t)=f_2(t)=0$＂下的进一步形式而已，它并没有改变卷积定义的实质．这个公式的作用在于：当函数满足条件＂$t<0$ 时，$f_1(t)=f_2(t)=0$＂而计算 $f_1(t) * f_2(t)$ 时免去重复推导而已。
（3）随着工程技术的发展，$Z$ 变换得到了越来越广泛的使用，它与傅里叶变换、拉普拉斯变换很大的区别在于它是针对离散函数序列 $f(n)(n=0,1,2, \cdots)$ 而进行的变换。本章重点介绍了单边 $Z$ 变换的定义、性质，导出了求 $Z$ 逆变换的方法，举例说明了它的一些应用．关于双边 $Z$ 变换的定义及讨论，方法是类似的．这里要说明无论是傅里叶变换、拉普拉斯变换还是 $Z$ 变换都需要良好的复变函数基础，尤其是一些理论推导及求 $Z$ 逆变换的计算，所以望读者在学习过程中注意复习巩固复变函数知识。

积分变换部分介绍的傅里叶变换、拉普拉斯变换和 $Z$ 变换是数学理论和工程技术常用而重要的 3 个变换，它们无疑是相异的，但在研究方法和结论上有许多相似之处，若能有区别而类比的学习，将会收到良好的效果．

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