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123黑洞

## 123黑洞
随手写下一串数字

$$
320105194311010215
$$

构成 18 位数，其中 7 个数字 $2,0,0,4,0,0,2$ 是偶数， 11 个数字 $3,1,5,1,9,3,1,1,1,1,5$是奇数．我们写下 $71118(18=7+11)$ ，它是由 $7,11,18$ 构成的 5 位数．

71118 由 5 个数字组成，其中 1 个数字 8 是偶数， 4 个数字 $7,1,1,1$ 是奇数．我们写下 $145(5=1+4)$ 。

145 由 3 个数字组成，其中 1 个数字 4 是偶数， 2 个数字 1,5 是奇数。我们写下 123 $(3=1+2)$ 。

123 由 3 个数字组成，其中 1 个数字 2 是偶数， 2 个数字 1,3 是奇数．按照上面所说，我们又写下 123.

任意一串数字，设其中有 $a$ 个偶数数字（允许 $a=0$ ），$b$ 个奇数数字，我们写成新数 $\overline{a b(a+b)}$ ，它表示开始的数字组成 $a$ ，接下去的数字组成 $b$ ，最后的数字组成 $a+b$ ．

对新数 $\overline{a b(a+b)}$ 采取同样的做法，这样继续下去，一定会出现 123 ，而且出现 123后、用上面的做法不再产生新的数，永远是 123、有人称这件事为 123 黑洞。

再举一个数341095890410968试试（＂→＂后面表示新得到的数）：

$$
341095890410968 \rightarrow 8715 \rightarrow 134 \rightarrow 123 .
$$

果然、还是 123 。
怎么证明呢？
首先、即使很大的数，经过一次操作，立即＂缩水＂很多。
设原来有 $a$ 个偶数、 $b$ 个奇数，共 $a+b$ 位，所以原数 $\geqslant 10^{a+b-1}$ ，所得新数为 $\overline{a b(a+b)}$ ．

先设 $a \geqslant b, a$ 是 $a_1$ 位数，$b$ 是 $b_1$ 位数，则 $a_1 \geqslant b_1, a+b$ 至多 $a_1+1$ 位，$\overline{a b(a+b)}$至多 $3 a_1+1$ 位．

在 $a_1 \geqslant 2$ 时，有

$$
\begin{aligned}
a-1 & \geqslant 10^{a_1-1}-1=(1+9)^{a_1-1}-1 \\
& \geqslant 1+9\left(a_1-1\right)-1=9 a_1-9>3 a_1+1,
\end{aligned}
$$

所以
$$
10^{a+b-1} \geqslant 10^{a-1}>10^{3 a_1+1}>\overline{a b(a+b)}
$$

即这时
原数＞新数．
$b>a$ 的情况下，同样可证得（1）（只需将字母 $a, b$ 互换）。
这样进行下去，所产生的新数不断减小，最后只剩下 $a, b$ 都至多是一位数的情况：
（i）$a_1=b_1=1$ ．
这时新数 $=112$ ，再操作一次变为 123 ．
（ii）$a_1=1, b_1=0$ ．
这时新数 $=101$ ，再操作一次变为 123 ．
（iii）$a_1=0, b_1=1$ ．
这时新数 $=011$ ，再操作一次变为 123 。
注1 我们使用的方法仍是枚举法（穷举法），即将要讨论的问题分为有限多种情况逐一讨论。

本题自然数 $a_1$ 虽然有无穷多种，但 $a_1 \geqslant 2$（或 $b_1 \geqslant 2$ ）的情况可以统一作为一种情况处理。这时只剩下 $a_1, b_1 \leqslant 1$ 的情况，又可分为上述（i）、（ii）、（iii）三种子情况逐一讨论。

注 2 前面约定 $a$ 可以为 0 ，只是为了方便，如不允许，也不影响结论，只需在（iii）中补充说明：这时新数为 11 ，再操作 3 次变为 $21,112,123$ ．
注3 宇宙间存在黑洞，可以吞没一切（物质、能量⋯⋯）。在数学中，如果任一个数列按一定规律变化，最后都变为同一个数，那么就称这个数为黑洞数，上述 123 就是其中一个．

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