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5.5 Gauss 绝妙定理（2）

下面我们要证明一个重要的定理，它说明在一般情形下曲面的法曲率的确包含了曲面形状的全部信息。

定理 5.4 设 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是从曲面 $S_1$ 到 $S_2$ 的连续可微映射，其中曲面 $S_1$ 没有脐点，并且它的 Gauss 曲率 $K$ 不为零．如果曲面 $S_1$和 $S_2$ 在所有的对应点、沿所有的对应切方向的法曲率保持不变，则有空间 $E^3$ 中的一个刚体运动 $\tilde{\sigma}: E^3 \rightarrow E^3$ 使得

$$
\begin{equation*}
\sigma=\left.\tilde{\sigma}\right|_{S_1} . \tag{5.18}
\end{equation*}
$$

证明 因为在曲面 $S_1$ 上没有脐点，所以在曲面 $S_1$ 上可以取正交曲率线网作为参数曲线网 $(u, v)$ ，于是曲面 $S_1$ 的两个基本微分形式成为

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2, \quad \mathbb{I}=L(\mathrm{~d} u)^2+N(\mathrm{~d} v)^2, \tag{5.19}
\end{equation*}
$$

并且

$$
\begin{equation*}
L=\kappa_1 E, \quad N=\kappa_2 G, \quad \kappa_1>\kappa_2, \quad K=\kappa_1 \kappa_2 \neq 0 . \tag{5.20}
\end{equation*}
$$

由于假定曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 在所有的对应点、沿所有的对应切方向的法曲率保持不变，因此切映射 $\sigma_*$ 首先应该是处处非退化的．于是 $(u, v)$ 也可以作为曲面 $S_2$ 上的参数，从而 $\sigma$ 是曲面 $S_1$ 和曲面 $S_2$ 上有相同参数值的点之间的对应．不妨设曲面 $S_2$ 的两个基本微分形式是

$$
\begin{equation*}
\tilde{\mathrm{I}}=\tilde{E}(\mathrm{~d} u)^2+2 \tilde{F} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+\tilde{G}(\mathrm{~d} v)^2, \quad \tilde{\mathrm{I}}=\tilde{L}(\mathrm{~d} u)^2+2 \tilde{M} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+\tilde{N}(\mathrm{~d} v)^2 \tag{5.21}
\end{equation*}
$$

因为在对应 $\sigma$ 下，曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 在所有的对应点、沿所有的对应切方向的法曲率都相等，因此曲面 $S_2$ 沿 $u$－曲线方向的法曲率应该是 $\kappa_1$ ，沿 $v$－曲线方向的法曲率应该是 $\kappa_2$ ，并且它们同样是曲面 $S_2$ 在每一点沿各个切方向的法曲率的最大值和最小值．这就是说，$(u, v)$ 也是曲面 $S_2$ 上的正交曲率线网，故有

$$
\begin{equation*}
\tilde{F}=\tilde{M}=0, \quad \tilde{L}=\kappa_1 \tilde{E}, \quad \tilde{N}=\kappa_2 \tilde{G} \tag{5.22}
\end{equation*}
$$

这样，曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 在对应点、沿对应切方向的法曲率相等的条件成为

$$
\begin{equation*}
\frac{\kappa_1 E(\mathrm{~d} u)^2+\kappa_2 G(\mathrm{~d} v)^2}{E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2}=\frac{\kappa_1 \tilde{E}(\mathrm{~d} u)^2+\kappa_2 \tilde{G}(\mathrm{~d} v)^2}{\tilde{E}(\mathrm{~d} u)^2+\tilde{G}(\mathrm{~d} v)^2} \tag{5.23}
\end{equation*}
$$

将上式展开得到

$$
\begin{equation*}
\left(\kappa_1-\kappa_2\right)(\tilde{E} G-E \tilde{G})(\mathrm{d} u)^2(\mathrm{~d} v)^2=0 \tag{5.24}
\end{equation*}
$$

由于 $\kappa_1-\kappa_2>0$ ，并且上式是关于 $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ 的恒等式，故有

$$
\begin{equation*}
\tilde{E} G-E \tilde{G}=0 . \tag{5.25}
\end{equation*}
$$

设

$$
\begin{equation*}
\frac{\tilde{E}}{E}=\frac{\tilde{G}}{G}=\lambda, \tag{5.26}
\end{equation*}
$$

则

$$
\begin{equation*}
\tilde{\mathrm{I}}=\lambda \mathrm{I}, \quad \tilde{\mathrm{I}}=\lambda \mathbb{I} . \tag{5.27}
\end{equation*}
$$

因此我们需要证明 $\lambda=1$ ．
根据 §5．3 的（3．23）式，曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 的 Codazzi 方程是

$$
\begin{array}{ll}
\frac{\partial L}{\partial v}=H \frac{\partial E}{\partial v}, & \frac{\partial N}{\partial v}=H \frac{\partial G}{\partial v}, \\
\frac{\partial \tilde{L}}{\partial v}=H \frac{\partial \tilde{E}}{\partial v}, & \frac{\partial \tilde{N}}{\partial v}=H \frac{\partial \tilde{G}}{\partial v}, \tag{5.29}
\end{array}
$$

其中 $H=\frac{1}{2}\left(\kappa_1+\kappa_2\right)$ ．因为 $\tilde{E}=\lambda E, \tilde{G}=\lambda G, \tilde{L}=\lambda L, \tilde{N}=\lambda N$ ，将 （5．29）式展开，并且用（5．28）式代入其中得到

$$
\left(\kappa_1-\kappa_2\right) \frac{\partial \lambda}{\partial u}=\left(\kappa_1-\kappa_2\right) \frac{\partial \lambda}{\partial v}=0,
$$

所以

$$
\frac{\partial \lambda}{\partial u}=0, \quad \frac{\partial \lambda}{\partial v}=0,
$$

即 $\lambda$ 是常数．将 $\tilde{E}=\lambda E, \tilde{G}=\lambda G$ 代入（5．4）式得到

$$
\begin{equation*}
\tilde{K}=\frac{1}{\lambda} K . \tag{5.30}
\end{equation*}
$$
但是，在另一方面

$$
\tilde{K}=\kappa_1 \kappa_2=K \neq 0,
$$

故得

$$
\lambda=1 .
$$

由此可见，曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 有相同的第一基本形式和第二基本形式。根据 $\S 5.2$ 的定理2．2，在空间 $E^3$ 中存在一个刚体运动 $\tilde{\sigma}$ 使得 $\sigma=\left.\tilde{\sigma}\right|_{S_1}$ ．证毕．

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