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关于微分方程的几个定理（1）

1．1．线性齐次常微分方程的解
在第二章证明曲线的存在定理以及在第六章讲述切向量沿曲线的平行移动时，都用到了下面的一阶线性齐次常微分方程组的解的存在性和唯一性定理．要紧的是，该方程组的解定义在整个指定的区间上，而不仅仅是定义在一点的某个充分小的邻域上．

定理1．1 已知常微分方程组

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d} x_i}{\mathrm{~d} t}=\sum_{j=1}^n a_{i j}(t) x_j, \quad 1 \leq i \leq n, \tag{1.1}
\end{equation*}
$$

其中系数 $a_{i j}(t)$ 是闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数，则对于任意给定的一组实数 $x_i^0(1 \leq i \leq n)$ ，存在唯一的一组定义在闭区间 $[a, b]$ 上的连续可微
函数 $x_i(t), 1 \leq i \leq n$ ，满足方程组（1．1）和初始条件

$$
\begin{equation*}
x_i(a)=x_i^0, \quad 1 \leq i \leq n . \tag{1.2}
\end{equation*}
$$

证明 命

$$
\begin{align*}
& x_i^{(1)}(t)=x_i^0+\int_a^t \sum_{j=1}^n a_{i j}(t) x_j^0 \mathrm{~d} t \\
& x_i^{(2)}(t)=x_i^0+\int_a^t \sum_{j=1}^n a_{i j}(t) x_j^{(1)}(t) \mathrm{d} t  \tag{1.3}\\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& x_i^{(r)}(t)=x_i^0+\int_a^t \sum_{j=1}^n a_{i j}(t) x_j^{(r-1)}(t) \mathrm{d} t .
\end{align*}
$$

假定 $\left|a_{i j}(t)\right|$ 在区间 $[a, b]$ 上的上界是 $\frac{1}{n} A>0 ;\left|x_i^0\right|$ 的上界是 $B>0$ ．于是

$$
\left|x_i^{(1)}(t)-x_i^0\right| \leq \int_a^t \sum_{j=1}^n\left|a_{i j}(t)\right| \cdot\left|x_j^0\right| \mathrm{d} t \leq A B(t-a),
$$

$$
\begin{aligned}
\left|x_i^{(2)}(t)-x_i^{(1)}(t)\right| & \leq \int_a^t \sum_{j=1}^n\left|a_{i j}(t)\right| \cdot\left|x_j^{(1)}(t)-x_j^0\right| \mathrm{d} t \\
& \leq A^2 B \int_a^t(t-a) \mathrm{d} t \leq B \cdot \frac{A^2(t-a)^2}{2}
\end{aligned}
$$

用数学归纳法容易证明

$$
\begin{equation*}
\left|x_i^{(r)}(t)-x_i^{(r-1)}(t)\right| \leq B \cdot \frac{A^r(t-a)^r}{r!} \leq B \cdot \frac{A^r(b-a)^r}{r!} . \tag{1.4}
\end{equation*}
$$

很明显，

$$
\begin{equation*}
\sum_{r=0}^{\infty} B \cdot \frac{A^r(b-a)^r}{r!}=B \cdot \mathrm{e}^{A(b-a)} \tag{1.5}
\end{equation*}
$$

所以对每一个固定的指标 $i$ ，级数

$$
\begin{equation*}
x_i^0+\left(x_i^{(1)}(t)-x_i^0\right)+\cdots+\left(x_i^{(r)}(t)-x_i^{(r-1)}(t)\right)+\cdots \tag{1.6}
\end{equation*}
$$

在区间 $[a, b]$ 上是绝对一致收敛的．然而级数（1．6）的前 $r+1$ 项的和是 $x_i^{(r)}(t)$ ，因此在区间 $[a, b]$ 上存在连续函数 $x_i(t)$ 使得

$$
\begin{equation*}
\lim _{r \rightarrow \infty} x_i^{(r)}(t)=x_i(t) . \tag{1.7}
\end{equation*}
$$

现在要证明函数组 $x_i(t), 1 \leq i \leq n$ 满足微分方程组（1．1）和初始条件（1．2）．根据（1．3）式得到

$$
\begin{align*}
x_i(t) & -x_i^0-\int_a^t \sum_{j=1}^n a_{i j}(t) x_j(t) \mathrm{d} t \\
& =\left(x_i(t)-x_i^{(r)}(t)\right)+\left(x_i^{(r)}(t)-x_i^0\right)-\int_a^t \sum_{j=1}^n a_{i j}(t) x_j(t) \mathrm{d} t \\
& =\left(x_i(t)-x_i^{(r)}(t)\right)-\int_a^t \sum_{j=1}^n a_{i j}(t)\left(x_j(t)-x_j^{(r-1)}\right) \mathrm{d} t \tag{1.8}
\end{align*}
$$

因为（1．7）式中的极限在区间 $[a, b]$ 上是一致收敛的，故对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，必能找到正整数 $N$ ，则当 $r-1 \geq N$ 时对于区间 $[a, b]$ 内任意的 $t$ 一致地有

$$
\left|x_i(t)-x_i^{(r-1)}\right|<\varepsilon, \quad 1 \leq i \leq n .
$$

所以由（1．8）式得到

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
\mid x_i(t) & -x_i^0-\int_a^t \sum_{j=1}^n a_{i j}(t) x_j(t) \mathrm{d} t \mid \\
& \leq\left|x_i(t)-x_i^{(r)}(t)\right|+\int_a^t \sum_{j=1}^n\left|a_{i j}(t)\right| \cdot\left|x_j(t)-x_j^{(r-1)}\right| \mathrm{d} t \\
& <\varepsilon+\varepsilon A(t-a) \leq \varepsilon(1+A(b-a))
\end{aligned}\\
&\text { 由于 } \varepsilon \text { 可以任意地小，而 } 1+A(b-a) \text { 是常数，所以有 }\\
&x_i(t)=x_i^0+\int_a^t \sum_{j=1}^n a_{i j}(t) x_j(t) \mathrm{d} t
\end{aligned}
$$

因此函数组 $x_i(t), 1 \leq i \leq n$ 满足微分方程组（1．1）和初始条件（1．2）．
假定有另一组连续函数 $\tilde{x}_i(t), 1 \leq i \leq n$ 满足微分方程组（1．1）和初始条件（1．2）。命

$$
\begin{equation*}
f_i(t)=x_i(t)-\tilde{x}_i(t) \tag{1.9}
\end{equation*}
$$

则 $f_i(a)=0,1 \leq i \leq n$ ，并且

$$
\begin{equation*}
f_i(t)=\int_a^t \sum_{j=1}^n a_{i j}(t) f_j(t) \mathrm{d} t \tag{1.10}
\end{equation*}
$$

不妨设 $\left|f_i(t)\right|$ 在区间 $[a, b]$ 上有上界 $C>0$ ，则由（1．10）式得到

$$
\left|f_i(t)\right| \leq A C(t-a),
$$

将上式再次代入（1．10）式右边得到

$$
\left|f_i(t)\right| \leq A^2 C \int_a^t(t-a) \mathrm{d} t=C \cdot \frac{A^2(t-a)^2}{2},
$$

在 $r$ 次迭代之后得到

$$
\begin{equation*}
\left|f_i(t)\right| \leq C \cdot \frac{A^r(t-a)^r}{r!} \leq C \cdot \frac{A^r(b-a)^r}{r!} . \tag{1.11}
\end{equation*}
$$

因为（1．11）式右端是收敛级数
$$
C \cdot \sum_{r=0}^{\infty} \frac{A^r(b-a)^r}{r!}
$$

的通项，故它在 $r \rightarrow \infty$ 时趋于零，所以 $f_i(t)=0, \forall i$ ．证毕．

1．2．一次微分式积分因子的存在性
在常微分方程初等积分法的课程中经常提到，微分方程

$$
\begin{equation*}
f(x, y) \mathrm{d} x+g(x, y) \mathrm{d} y=0 \tag{1.12}
\end{equation*}
$$

在某些特殊情形，可以容易地求得只依赖变量 $x$ ，或者只依赖变量 $y$ 的积分因子．但是，在常微分方程的课程中关于方程（1．12）在一般情形

下积分因子的存在性却没有明确地阐述过．然而，该问题在几何学中是十分重要的，例如第三章 $\S 3.4$ 中定理 4.2 的证明即依赖这个事实．

设 $f(x, y), g(x, y)$ 是定义在区域 $D \subset E^2$ 上的两个连续可微函数．如果在区域 $D$ 上存在连续函数 $\lambda(x, y)$ 和连续可微函数 $k(x, y)$ 使得

$$
\begin{equation*}
\lambda(x, y) \cdot(f(x, y) \mathrm{d} x+g(x, y) \mathrm{d} y)=\mathrm{d} k(x, y), \tag{1.13}
\end{equation*}
$$

则称 $\lambda(x, y)$ 是方程（1．12）的积分因子．此时，方程（1．12）有第一积分

$$
k(x, y)=c .
$$

关于方程（1．12）的积分因子的存在性有下面的定理：
定理1．2 设 $f(x, y), g(x, y)$ 是定义在区域 $D \subset E^2$ 上的两个连续可微函数。若在点 $\left(x_0, y_0\right) \in D$ 处 $f\left(x_0, y_0\right), g\left(x_0, y_0\right)$ 不全为零，则必有 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域 $U \subset D$ ，以及定义在 $U$ 上的连续函数 $\lambda(x, y)$ ，使得 $\lambda(x, y)$ 是方程（1．12）在区域 $U$ 上的积分因子．

证明 上述定理实际上是下面的定理 1.4 的推论，在那里我们给出任意多个变量的一次微分式的积分因子存在的充分必要条件．本定理说：对于只有两个变量的一次微分式，它的积分因子总是存在的．在这里要给出一个直接的初等证明．

根据假定，不妨设 $g\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，于是方程（1．12）在 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域内可以写成

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{f(x, y)}{g(x, y)} \tag{1.14}
\end{equation*}
$$

根据常微分方程解关于初始值的连续依赖性（参看：丁同仁等编著，常微分方程教程，高等教育出版社（1991年版），第 138 页，定理 2），必有 $x_0$ 的一个邻域 $I$ 和 $y_0$ 的一个邻域 $J$ ，使得 $I \times J \subset D$ ，并且对于任意给定的 $y_1 \in J$ ，方程（1．14）有唯一解

$$
y=t\left(x, y_1\right), \quad x \in I
$$

即它满足方程

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial t\left(x, y_1\right)}{\partial x}=-\frac{f\left(x, t\left(x, y_1\right)\right)}{g\left(x, t\left(x, y_1\right)\right)}, \tag{1.15}
\end{equation*}
$$

并且满足初始条件

$$
\begin{equation*}
t\left(x_0, y_1\right)=y_1 . \tag{1.16}
\end{equation*}
$$

另外，函数 $t\left(x, y_1\right)$ 对于变量 $x, y_1$ 是连续可微地依赖的．由（1．16）式可知

$$
\left.\frac{\partial t\left(x, y_1\right)}{\partial y_1}\right|_{x=x_0}=\frac{\partial t\left(x_0, y_1\right)}{\partial y_1}=1 \neq 0,
$$

故有 $x_0$ 的一个邻域 $I^{\prime} \subset I$ 使得

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial t\left(x, y_1\right)}{\partial y_1} \neq 0, \quad \forall\left(x, y_1\right) \in I^{\prime} \times J . \tag{1.17}
\end{equation*}
$$

在区域 $I^{\prime} \times J$ 上考虑函数组

$$
\begin{equation*}
x=s\left(x_1, y_1\right) \equiv x_1, \quad y=t\left(x_1, y_1\right), \tag{1.18}
\end{equation*}
$$

它们的 Jacobi 行列式是
$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial\left(x_1, y_1\right)}=\left|\begin{array}{cc}
1 & 0  \tag{1.19}\\
\frac{\partial t\left(x_1, y_1\right)}{\partial x_1} & \frac{\partial t\left(x_1, y_1\right)}{\partial y_1}
\end{array}\right|=\frac{\partial t\left(x_1, y_1\right)}{\partial y_1} \neq 0 \text {. }
$$

根据反函数定理，存在函数组

$$
\begin{equation*}
x_1=h(x, y), \quad y_1=k(x, y), \quad\left(I_1 \times J_1\right) \subset I \times J \tag{1.20}
\end{equation*}
$$

满足恒等式

$$
s(h(x, y), k(x, y))=h(x, y) \equiv x, \quad t(h(x, y), k(x, y)) \equiv y,
$$

即

$$
\begin{equation*}
t(x, k(x, y)) \equiv y . \tag{1.21}
\end{equation*}
$$

对函数 $y=t\left(x, y_1\right)$ 求全微分得到

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} y & =\frac{\partial t\left(x, y_1\right)}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial t\left(x, y_1\right)}{\partial y_1} \mathrm{~d} y_1 \\
& =-\frac{f\left(x, t\left(x, y_1\right)\right)}{g\left(x, t\left(x, y_1\right)\right)} \mathrm{d} x+\frac{\partial t\left(x, y_1\right)}{\partial y_1} \mathrm{~d} y_1,
\end{aligned}
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} y_1 & =\frac{1}{\frac{\partial t\left(x, y_1\right)}{\partial y_1}} \cdot\left(\frac{f\left(x, t\left(x, y_1\right)\right)}{g\left(x, t\left(x, y_1\right)\right)} \mathrm{d} x+\mathrm{d} y\right) \\
& =\frac{1}{\frac{\partial t\left(x, y_1\right)}{\partial y_1} \cdot g\left(x, t\left(x, y_1\right)\right)} \cdot\left(f\left(x, t\left(x, y_1\right)\right) \mathrm{d} x+g\left(x, t\left(x, y_1\right)\right) \mathrm{d} y\right) .
\end{aligned}
$$

用 $y_1=k(x, y)$ 代入上式，并且由（1．21）式得到

$$
\mathrm{d} k(x, y)=\lambda(x, y) \cdot(f(x, y) \mathrm{d} x+g(x, y) \mathrm{d} y),
$$

其中

$$
\lambda(x, y)=\frac{1}{\frac{\partial t}{\partial y_1}(x, k(x, y)) \cdot g(x, y)} .
$$

证毕．

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