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牛顿迭代法

不动点方法提供了研究迭代法收敛性质的统一理论框架。本节我们来研究一类构造简单且收敛速度快的不动点迭代格式即牛顿迭代格式。

牛顿迭代法的思想是通过泰勒展式将难于求解的非线性方程转化为易于求解的线性方程．将非线性方程 $f(x)=0$ 在近似解 $x_k$ 处进行泰勒展开

$$
f(x) \approx f\left(x_k\right)+f^{\prime}\left(x_k\right)\left(x-x_k\right) .
$$

我们用右边线性方程的解（记为 $x_{k+1}$ ）作为左边非线性方程的新近似解，即

$$
\begin{equation*}
x_{k+1}=x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f^{\prime}\left(x_k\right)} \tag{2.12}
\end{equation*}
$$

上述迭代方法（2．12）称为牛顿迭代法．我们可以不断重复上述过程逐步逼近非线性方程 $f(x)=0$ 的精确解 $x^*$ ．可以从几何视角理解牛顿迭代格式，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_k, f\left(x_k\right)\right)$ 处的切线方程为

$$
y-f\left(x_k\right)=f^{\prime}\left(x_k\right)\left(x-x_k\right)
$$

将切线与 $x$ 轴交点 $x_{k+1}=x_k-f\left(x_k\right) / f^{\prime}\left(x_k\right)$ 作为精确解 $x^*$（曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴的交点）的新近似解．我们可以不断重复上述过程逐步逼近精确解 $x^*$（图 2．2）．

![图片](/uploads/2026-06/57d60d.jpg)
 
 例 2.3 牛顿迭代法求解非线性方程 $x^3+x-1=0$ 在区间 $[0,1]$ 上的解．
解 由于 $f(x)=x^3+x-1$ 和 $f^{\prime}(x)=3 x^2+1$ ，则牛顿迭代格式为

$$
x_{k+1}=x_k-\frac{x_k^3+x_k-1}{3 x_k^2+1}=\frac{2 x_k^3+1}{3 x_k^2+1} .
$$

上述牛顿迭代格式其实就是例2．2中第三种不动点迭代格式。我们可以从表2．2观察到牛顿迭代格式比其他不动点迭代格式收敛更快．

下面我们来研究牛顿迭代格式的收敛性质。

定理 2.6 设 $f\left(x^*\right)=0, f^{\prime}\left(x^*\right) \neq 0$ 且 $f(x)$ 在 $x^*$ 的某邻域有二阶连续导数，则牛顿迭代法（2．12）局部收敛到 $x^*$ 且具有至少二阶收敛速度，并满足

$$
\begin{equation*}
\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{x_{k+1}-x^*}{\left(x_k-x^*\right)^2}=\frac{f^{\prime \prime}\left(x^*\right)}{2 f^{\prime}\left(x^*\right)} \tag{2.13}
\end{equation*}
$$

证明 牛顿迭代法的相应不动点形式为

$$
x=\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}
$$

由 $\varphi\left(x^*\right)=x^*, \varphi^{\prime}\left(x^*\right)=0$ 及定理2．4知牛顿迭代法局部收敛．将非线性方程 $f(x)=$ 0 在 $x_k$ 处进行泰勒展开

$$
f(x)=f\left(x_k\right)+f^{\prime}\left(x_k\right)\left(x-x_k\right)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2}\left(x-x_k\right)^2,
$$

其中 $\xi$ 在 $x_k$ 和 $x^*$ 之间．代入 $x=x^*$ ，我们有

$$
0=f\left(x^*\right)=f\left(x_k\right)+f^{\prime}\left(x_k\right)\left(x^*-x_k\right)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2}\left(x^*-x_k\right)^2 .
$$

整理得

$$
x^*=x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f^{\prime}\left(x_k\right)}-\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2 f^{\prime}\left(x_k\right)}\left(x^*-x_k\right)^2 .
$$

由牛顿迭代格式（2．12）有

$$
x^*=x_{k+1}-\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2 f^{\prime}\left(x_k\right)}\left(x^*-x_k\right)^2,
$$

进一步整理得

$$
\frac{x_{k+1}-x^*}{\left(x_k-x^*\right)^2}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2 f^{\prime}\left(x_k\right)} .
$$

当 $k \rightarrow \infty$ 时，$x_k$ 和 $\xi$ 都趋近 $x^*$ ，故牛顿迭代法具有至少二阶收敛速度且式（2．13）成立．

虽然牛顿迭代法收敛速度快，但需要计算函数的导数．对于函数导数不易于计算的情况，我们用有限差分 $\frac{f\left(x_k\right)-f\left(x_{k-1}\right)}{x_k-x_{k-1}}$ 近似代替 $f^{\prime}\left(x_k\right)$ ，则有如下割线法：

$$
x_{k+1}=x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f\left(x_k\right)-f\left(x_{k-1}\right)}\left(x_k-x_{k-1}\right) .
$$

我们也可以从几何视角理解割线法，经过点 $\left(x_k, f\left(x_k\right)\right)$ 和 $\left(x_{k-1}, f\left(x_{k-1}\right)\right)$ 的直线 （即割线）为
$$
y-f\left(x_{k-1}\right)=\frac{\left(x-x_{k-1}\right)}{\left(x_k-x_{k-1}\right)}\left(f\left(x_k\right)-f\left(x_{k-1}\right)\right) .
$$

将割线与 $x$ 轴交点 $x_{k+1}=x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f\left(x_k\right)-f\left(x_{k-1}\right)}\left(x_k-x_{k-1}\right)$ 作为精确解 $x^*$（曲线 $y=f(x)$与 $x$ 轴的交点）的新近似解．我们可以不断重复上述过程逐步逼近精确解 $x^*$（图 2．3）．

![图片](/uploads/2026-06/9acbc0.jpg)
 
 例 2.4 牛顿迭代法求解非线性方程 $x^3-3 x+2=0$ ，其中精确解为 $x^*=-2$ 和 $x^*=1$（二重解）。

解 牛顿迭代格式为

$$
x_{k+1}=x_k-\frac{x_k^3-3 x_k+2}{3 x_k^2-3} .
$$

表 2.3 给出了牛顿迭代法对于不同初始值 $x_0=-1.5$ 和 $x_0=1.5$ 的数值结果。我们观察到对于初始值 $x_0=-1.5$ ，牛顿迭代法 5 步迭代就收敛到附近的精确解 -2 ，而对于初始值 $x_0=1.5$ ，牛顿迭代法 11 步迭代后仍未完全收敛到附近的精确解1。为什么牛顿迭代法对于不同初始值的数值表现不一致？下面我们从理论上分析牛顿迭代法对于不同初始值数值表现不同的原因．

![图片](/uploads/2026-06/304bbb.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2026-06/841809.jpg)
  
  设 $x^*$ 是非线性方程

$$
f(x)=\left(x-x^*\right)^m g(x)
$$

的 $m>1$ 重解，其中 $g\left(x^*\right) \neq 0$ 。牛顿迭代格式为

$$
\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}=x-\frac{\left(x-x^*\right) g(x)}{m g(x)+\left(x-x^*\right) g^{\prime}(x)}
$$

由于 $\varphi^{\prime}\left(x^*\right)=1-\frac{1}{m}$ ，则当 $m>1$ 时，$\varphi^{\prime}\left(x^*\right) \neq 0$ 且 $\left|\varphi^{\prime}\left(x^*\right)\right|<1$ ，因此，虽然牛顿迭代法收敛但收敛速度没有达到二阶．上述理论分析与例2．4中对于初始点 $x_0=1.5$ 的牛顿迭代法数值表现互相印证。

最后我们通过一个例子说明，如何将牛顿迭代法从求解单变量非线性方程推广到求解多变量非线性方程组。

例 2.5 牛顿迭代法求解非线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2-y-1=0 \\
(x-2)^2+(y-0.5)^2-1=0
\end{array}\right.
$$

解 将非线性方程组在近似解 $\left(x_{k+1}, y_{k+1}\right)^{\mathrm{T}}$ 处进行多元函数泰勒展开

$$
\begin{aligned}
& 0=f_1(x, y) \approx f_1\left(x_k, y_k\right)+\frac{\partial f_1}{\partial x}\left(x_k, y_k\right)\left(x-x_k\right)+\frac{\partial f_1}{\partial y}\left(x_k, y_k\right)\left(y-y_k\right) \\
& 0=f_2(x, y) \approx f_2\left(x_k, y_k\right)+\frac{\partial f_2}{\partial x}\left(x_k, y_k\right)\left(x-x_k\right)+\frac{\partial f_2}{\partial y}\left(x_k, y_k\right)\left(y-y_k\right)
\end{aligned}
$$

我们用右边线性方程组的解作为左边非线性方程组的近似解

$$
\binom{x_{k+1}}{y_{k+1}}=\binom{x_k}{y_k}-\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_1}{\partial x}\left(x_k, y_k\right) & \frac{\partial f_1}{\partial y}\left(x_k, y_k\right) \\
\frac{\partial f_2}{\partial x}\left(x_k, y_k\right) & \frac{\partial f_2}{\partial y}\left(x_k, y_k\right)
\end{array}\right)^{-1}\binom{f_1\left(x_k, y_k\right)}{f_2\left(x_k, y_k\right)} .
$$

由于

$$
\begin{aligned}
& f_1\left(x_k, y_k\right)=x_k^2-y_k-1, \quad f_2\left(x_k, y_k\right)=\left(x_k-2\right)^2+\left(y_k-0.5\right)^2-1, \\
& \frac{\partial f_1}{\partial x}\left(x_k, y_k\right)=2 x_k, \quad \frac{\partial f_1}{\partial y}\left(x_k, y_k\right)=-1, \\
& \frac{\partial f_2}{\partial x}\left(x_k, y_k\right)=2\left(x_k-2\right), \quad \frac{\partial f_2}{\partial y}\left(x_k, y_k\right)=2\left(y_k-0.5\right),
\end{aligned}
$$

则牛顿迭代格式为

$$
\binom{x_{k+1}}{y_{k+1}}=\binom{x_k}{y_k}-\left(\begin{array}{cc}
2 x_k & -1 \\
2\left(x_k-2\right) & 2\left(y_k-0.5\right)
\end{array}\right)^{-1}\binom{x_k^2-y_k-1}{\left(x_k-2\right)^2+\left(y_k-0.5\right)^2-1} .
$$

牛顿迭代法对于初值点 $(1,0)^{\mathrm{T}}$ 和 $(2,2)^{\mathrm{T}}$ 的数值结果见表 2．4．

![图片](/uploads/2026-06/0c7669.jpg)
 
 从这出，初值不同，计算结是不同的，所以牛顿迭代法对初值比较感，
在使用过程中要特别注意

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