最后更新: 2026-06-27 17:07 查看: 2 次纠错评论(0) 课件开VIP

自适应积分

7.5 自适应积分

到目前为止，上面讨论的积分方法的积分点分布基本都比较均匀，所以实现都是很容易的．但是，有时候我们希望我们的方法足够高效，需要的积分点＂足够少＂．我们不想在函数光滑的区间中浪费太多的点，因为这样的过程通常不必要且效率低下．我们常常需要根据函数的波动情况自动选择积分点的个数．实际上，大多数自动积分方法都是自适应的．考虑图7．6中的图形，为了在时间间隔［－3，1］内准确实现积分，我们将需要在原点附近使用比较多的点，而在远离原点的地方使用较少的点．

![图片](/uploads/2026-06/ba1670.jpg)
 
 自适应方法核心是使用两个（或多个，但通常是两个）近似值产生可计算的误差估计值来衡量计算的准确性．粗略地讲，如果这个可计算的误差估计足够小，那么我们将停止计算．在此处介绍的方法中，我们将使用 7.4 节中的理查森外推结果来估计误差。

假设我们要计算

$$
I=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$

的较为精确的近似值．也就是说，我们希望找到一个近似值 $Q \approx I$ 。由于辛普森公式简单有效，所以这里将其作为自适应方法讨论的出发点。为简单起见，我们分别从一个和两个区间上的积分计算开始。一个近似值是基于在整个区间上应用辛普森公式，另一个是基于两个子区间上复合辛普森公式的近似值．因此有

$$
S_1=\frac{(b-a) / 2}{3}(f(a)+4 f((a+b) / 2)+f(b))
$$

和

$$
\begin{aligned}
S_2= & \frac{(b-a) / 4}{3}(f(a)+4 f((a+b) / 4)+f((a+b) / 2)) \\
& +\frac{(b-a) / 4}{3}(f((a+b) / 2)+4 f(3(a+b) / 4)+f(b))
\end{aligned}
$$

应用理查森外推法来估计 $S_2$ 的绝对误差

$$
E_2=\left|S_2-S_1\right| / 15 .
$$

如果 $E_2$ 比较小，即可使用理查森外推值 $R_2=\left(16 S_2-S_1\right) / 15$ 作为对 $I$ 的近似值，并且我们相信这种近似值符合指定的精度。但是，我们并不是真正希望仅用两个近似值来计算出任何函数较为准确的积分．实际上，我们接下来尝试着准确地计算一半的积分，

$$
I^{\prime}=\int_{(a+b) / 2}^b f(x) \mathrm{d} x
$$

再组合评估．使用相同的想法再求此积分的另一半，以此类推．
为以较为简单的形式描述自适应方法的基本思想，我们定义

$$
J(\alpha, \beta)=\int_\alpha^\beta f(x) \mathrm{d} x
$$

对上式采用类似辛普森公式的近似表示法

$$
\begin{gathered}
S(\alpha, \beta)=\frac{(\beta-\alpha) / 2}{3}[f(\alpha)+4 f((\alpha+\beta) / 2)+f(\beta)], \\
S_1=S(a, b)=S\left(b-\theta_1, b\right) .
\end{gathered}
$$

定义 $\theta_k=2^{-k+1}(b-a)$ ，比如，$\theta_1=(b-a), \theta_2=(b-a) / 2$ 。因此，我们的第一步计算公式为

$$
\begin{aligned}
S_2 & =S(a,(a+b) / 2)+S((a+b) / 2, b) \\
& =S\left(b-\theta_1, b-\theta_2\right)+S\left(b-\theta_2, b\right)
\end{aligned}
$$

然后令

$$
J\left(b-\theta_2, b\right)=J((a+b) / 2, b)=\int_{(a+b) / 2}^b f(x) \mathrm{d} x .
$$

不断将该过程递归下去，直到我们计算出部分积分达到指定的精度为止．比如，使用两个近似值

$$
\begin{aligned}
& S_1=S\left(b-\theta_2, b\right)=S((a+b) / 2, b) \\
& S_2=S\left(b-\theta_2, b-\theta_3\right)+S\left(b-\theta_3, b\right)
\end{aligned}
$$

来计算理查森外推值 $E_2=\left|S_2-S_1\right| / 15$ 和 $R_2=\left(16 S_2-S_1\right) / 15$ 。最终如果 $E \leqslant \frac{1}{2} \tau$ ，则我们接受 $R$ 作为 $J((a+b) / 2, b)$ 的近似值。并计算第 $k$ 次计算结果，将 $J\left(b-\theta_k, b\right)$ 作为可取的近似值．

这样一来，对于每一部分小区间上的积分，我们将找到一个足够小的子区间，满足所需的误差限．发生这种情况时，我们将累积积分的近似值，然后继续尝试计算积分的下一部分。

该过程高效的关键是重复使用先前计算的函数值．随着计算的进行，程序将得到一个已计算的网格点和相关函数值的列表．
例 7.10 尝试近似积分的值

$$
I=J(-5,1)=\int_{-5}^1 \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-4 x}} \mathrm{~d} x=1.004537481464164
$$

解 使用的公差为 $\tau=10^{-2}$ ，有

$$
f(x)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-4 x}}, \quad a=-5, \quad b=1, \quad T=0.01
$$

在实际应用中 MATLAB 和 Python 都包括一个自适应的积分函数（quad），上例的计算节点的分布如图 7.7 所示．

![图片](/uploads/2026-06/8fb5a7.jpg)
 
 从)7.7可以出，自适应方法是比较高效的.

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